Posiciones relativas de tres planos

 Dados los planos

• Ax + By + Cz + D = 0
• A'x + B'y + C'z + D' = 0
• A''x + B''y + C''z + D'' = 0

tenemos las siguientes matrices, la matriz R

y la matriz S:

• Si el rango de ambas matrices es 3,

Rango(R) = Rango(S) = 3,

el sistema tiene una sola solución y los planos forman un triedro.

• Si los rangos de R y S son diferentes,

Rango(R) = 2, Rango(S) = 3

el sistema no tiene solución. Si AB' - A'B ≠ 0, entonces los dos planos se cortan según una recta paralela al tercer plano.

• Si el rango de ambos es igual a 2,

Rango(R) = Rango(S) = 2

entonces, por ejemplo, (A'', B'', C'', D'') es combinación lineal de (A, B, C, D) y (A', B', C'. D'):

(A'', B'', C'', D'') = 𝜆(A, B, C, D) + 𝜇(A', B', C'. D')

Sustituyendo en A''x + B''y + C''z + D'' = 0, tenemos:

A''x + B''y + C''z + D'' = 𝜆(Ax + By + Cz + D) + 𝜇(A'x + B'y + C'z + D')

El tercer plano pasa por la recta de incidencia de los otros dos. La ecuación anterior igualada a cero representa el haz de planos, cuya base viene dada por la intersección de los dos primeros.

Si el rango de R es 1 y el rango de S = 2, podemos deducir:

• A' = kA
• B' = kB
• C' = kC

y además:

• A'' = hA
• B'' = hB
• C'' = hC

Es decir, tenemos tres planos paralelos o dos de ellos coinciden y son paralelos al tercero,

Condición para que cuatro planos formen un tetraedro

Dados los planos:

• Ax + By + Cz + D = 0
• A'x + B'y + C'z + D' = 0
• A''x + B''y + C''z + D'' = 0
• A'''x + B'''y + C'''z + D''' = 0

Para que formen un tetraedro se debe verificar que:

y además los menores de tercer orden de la matriz de coeficientes deben ser no nulos.