Dependencia e independencia lineal de vectores

 Se dice que los vectores del subconjunto A = {a₁, a₂, ..., aₙ} de un espacio vectorial V sobre R forman un sistema libre o son linealmente independientes si de la relación

𝛼₁a₁ + 𝛼₂a₂ + ... + 𝛼ₙaₙ = 0

se deduce que todos los 𝛼 son nulos 𝛼₁＝𝛼₂＝...=𝛼ₙ = 0, el vector nulo 0 se expresa de forma única en función en función de los vectores que componen el sistema A. Cuando esta relación también sea cierta para valores no todos nulos de los escalares 𝛼, se dice que el sistema A es ligado o que los vectores que lo forman son linealmente dependientes. En este caso, lo que significa es que el vector no nulo 0 se expresa de forma única, como combinación lineal de los vectores del sistema.

Ejemplo

Sean los vectores a₁=(3, -5, 0) y a₂ = (1, -1, 2). Tenemos que comprobar si son linealmente independientes o dependientes.

Solución

Sabemos que la condición requerida para la dependencia o independencia lineal de un sistema de vectores es:

𝛼₁a₁ + 𝛼₂a₂ = 0

sustituyendo a₁, a₂ y 0 (por (0, 0, 0)):

𝛼₁(3, -5, 0) + 𝛼₂(1, -1, 2) = (0, 0, 0)

igualando coeficientes correspondientes a las coordenadas:

  • 3𝛼₁ + 1𝛼₂ = 0
  • (-5)𝛼₁+(-1)𝛼₂ = 0
  • 0𝛼₁ + 2𝛼₂ = 0
Resolviendo el sistema:
  • 2𝛼₂ = 0 => 𝛼₂ = 0
  • 3𝛼₁ + 0·1 = 0 => 𝛼₁ = 0
Por lo tanto, a₁ y a₂ forman un sistema de vectores linealmente independientes.

De la aplicación de conceptos de dependencia e independencia lineal, podemos deducir lo siguiente:
  1. El vector 0 es dependiente de cualquier sistema de vectores.
  2. Por el contrario, cualquier vector no nulo forma un sistema linealmente independiente.
  3. Si consideramos un sistema S = {0, a₁, a₂, ... ,  aₙ} será linealmente dependiente,
  4. Si tenemos un sistema de vectores linealmente dependientes, si le añadimos nuevos vectores, el nuevo sistema que hemos formado será también dependiente.
  5. Si tomamos cualquier subconjunto de vectores de un sistema libre, éste también será libre.
  6. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de vectores sea linealmente dependiente es que exista por lo menos un vector que resulte de la combinación lineal de los demás.

 

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