Otras ecuaciones del plano

 Veamos otras formas de representar el plano.

Ecuación ordinaria del plano

Si partimos de la ecuación Ax + By + Cz + D = 0 y hacemos explícita la z:

z = (-A/C)x -(B/C)y - D/C

tenemos la ecuación ordinaria (z = mx + ny + h) que permite obtener secciones planas de las superficies por la fácil eliminación de z.

Ecuación del plano en función de los segmentos que intercepta en los ejes

Dada la ecuación general:

Ax + By + Cz + D = 0

vamos a determinar los segmentos que intercepta:

  • Con el eje x, tenemos:

  1. y = 0
  2. z = 0
  3. Aa + D = 0, por lo que A = -D/a

  • Con el eje y:

  1. x = 0
  2. z = 0
  3. Bb + D = 0, por lo que B = -D/b

  • Con el eje z:

  1. x = 0
  2. y = 0
  3. Cc + D = 0, por lo que C = -D/c

Si sustituimos en la ecuación general los valores que hemos obtenido para A, B, C:

x/a + y/b + z/c = 1, que es la ecuación canónica.

Forma hessiana de la ecuación del plano

Se obtiene en función de la longitud d de la perpendicular trazada desde el origen del plano y de los ángulos 𝛼, 𝛽, 𝛾 que forma esta perpendicular al plano con los ejes x, y, z.

Si tenemos un punto P(x, y, z) proyectando en el contorno ORQP sobre la perpendicular OA, obtendríamos:

xcos 𝛼 + ycos 𝛽 + zcos 𝛾, que es la forma hessiana, semejante a la normal de la recta.

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