Ejemplos de determinación del plano
Veamos algunos ejemplos de lo explicado en la entrada anterior.
Ejemplo 1
Dados los puntos A(-2, 1, 5), B(3, 1, 1), C(2, 2, 0) tenemos que determinar la ecuación del plano que pasa por estos tres grupos.
La ecuación vendrá dada por el determinante:
Si desarrollamos el determinante, tenemos:
que es igual a:
4x + 6y + 8z -26 = 0
Ejemplo 2
Sea la recta r de ecuaciones paramétricas
- x = 2 + 3t
- y = 1 + 2t
- z = 1 + 2t
y el punto P(0, -1, 2). Tenemos que determinar al ecuación del plano que definen r y P.
Considerando un punto de la recta, por ejemplo, el correspondiente a t = 0. es decir, el P₁(2, 1, 1), el vector P₁P tiene por componentes (2, 2, -1), por tanto las ecuaciones del plano serán:
- x = 2 + 2s + 3t
- y = 1 +2t + 2s
- z = 1 - 1s + 2t
Ejemplo 3
Dadas las rectas r y q, tal que la recta r es igual a
- x = 1 + t
- y = 2 - t
- z = t
y la recta q es igual a
- x = 1 + t
- y = t
- z = t
que se cortan en el punto (2, 1, 1), tenemos que hallar la ecuación del plano determinado por ellas.
Por ser P(x₀, y₀, z₀) un punto de la recta r se verificará:
- x₀ = 1 + t
- y₀ = 2-t
- z₀ = t
y pertenecer también a la recta q tendremos:
- x₀ = 1 + s
- y₀ = s
- z₀ = s
entonces igualando:
- 1 + t = 1 + s
- 2 - t = s
- t = s
obtenemos un sistema compatible cuyas soluciones son:
- t = 1
- s = 1
El plano quedará determinado por la recta r, el punto de la recta P(2, 1, 1) y el punto Q(1, 0, 0) de la recta q. Con estos puntos, obtenemos PQ(-1, -1, -1). Las ecuaciones paramétricas que resultan:
- x = 1 -s + t
- y = 2 -s -t
- z = -s + t
que en su forma general:
x -z-1 = 0
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