Ejemplos de determinación del plano

 Veamos algunos ejemplos de lo explicado en la entrada anterior.

Ejemplo 1

Dados los puntos A(-2, 1, 5), B(3, 1, 1), C(2, 2, 0) tenemos que determinar la ecuación del plano que pasa por estos tres grupos.

La ecuación vendrá dada por el determinante:

Si desarrollamos el determinante, tenemos:

que es igual a:

4x + 6y + 8z -26 = 0

Ejemplo 2

Sea la recta r de ecuaciones paramétricas

• x = 2 + 3t
• y = 1 + 2t
• z = 1 + 2t

y el punto P(0, -1, 2). Tenemos que determinar al ecuación del plano que definen r y P.

Considerando un punto de la recta, por ejemplo, el correspondiente a t = 0. es decir, el P₁(2, 1, 1), el vector P₁P tiene por componentes (2, 2, -1), por tanto las ecuaciones del plano serán:

• x = 2 + 2s + 3t
• y = 1 +2t + 2s
• z = 1 - 1s + 2t

Ejemplo 3

Dadas las rectas r y q, tal que la recta r es igual a

• x = 1 + t
• y = 2 - t
• z = t

y la recta q es igual a

• x = 1 + t
• y = t
• z = t

que se cortan en el punto (2, 1, 1), tenemos que hallar la ecuación del plano determinado por ellas.

Por ser P(x₀, y₀, z₀) un punto de la recta r se verificará:

• x₀ = 1 + t
• y₀ = 2-t
• z₀ =  t

y pertenecer también a la recta q tendremos:

• x₀ = 1 + s
• y₀ = s
• z₀ =  s

entonces igualando:

• 1 + t = 1 + s
• 2 - t = s
• t = s

obtenemos un sistema compatible cuyas soluciones son:

• t = 1
• s = 1

El plano quedará determinado por la recta r, el punto de la recta P(2, 1, 1) y el punto Q(1, 0, 0)  de la recta q. Con estos puntos, obtenemos PQ(-1, -1, -1). Las ecuaciones paramétricas que resultan:

• x = 1 -s + t
• y = 2 -s -t
• z = -s + t

que en su forma general:

x -z-1 = 0