Operaciones con logaritmos

 Logaritmo de un producto

El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de dichos números.

Demostración

Sean 

log_aM = X, log_aN = Y

Por definición

M = a^x , N = a^y

Si las multiplicamos, tenemos:

M·N = a^x·a^y

Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes.

M·N = a^x+y

De donde por la definición de los logaritmos podemos sacar que:

log_a(M·N) = x + y

Como x e y son los respectivos logaritmos de M y N, podemos poner:

log_a(M·N) = log_aM + log_aN

Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente entre dos números es el logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Demostración

log_aM = X, log_aN = Y

Por definición:

M = a^x, N = a^y

Dividiendo las dos expresiones:

M/N = a^x/a^y

Para dividir dos potencias de la misma base se restan los exponentes:

M/N = a^x-y

Por la definición de logaritmo:

log_a(M/N) = x - y

Sustituyendo "x" e "y" por los valores tenemos:

log_a(M/N) = log_aM - log_aN

Logaritmo de una potencia

El logaritmo de la potencia de un número es igual al producto del exponente por el logaritmo del número que constituya la base de la potencia.

Demostración

Sea

log_aM = x

Por definición:

M = a^x

Si elevamos los dos miembros a una potencia cualquiera "u" tendremos:

M^u = (a^x)^u

Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes:

M^u = a^xu

Por la definición de logaritmo:

log_aM^u = xu

Sustituyendo x por su valor queda:

log_aM^u = u·log_aM

NOTA: Ten en cuenta que la la raíz enésima de un número es lo mismo que elevar ese número a 1/n, por lo que este procedimiento y demostración también es válido para el logaritmo de una raíz.