Logaritmos neperianos de los números complejos

Si  Ln μ = Z, entonces ez = μ, siendo z un número complejo z = x + yi; por lo que ex+yi = μ, siendo μ por ejemplo otro complejo.

Demostración

ex+yi = 𝜌·(cos ⍺ + i·sen ⍺)

  • ex = 𝜌, x =Ln 𝜌
  • y = ⍺ + 2K𝜋
Por lo que:

z = Ln 𝜌 + (⍺ + 2K𝜋)i

Es decir, el logaritmo neperiano de un número complejo es otro complejo que tiene por parte real el logaritmo neperiano del módulo y por parte imaginaria el argumento ⍺ + 2K𝜋, o sea, existen en el campo complejo infinitos logaritmos, todos ellos con la misma parte real y difieren en la parte imaginaria en 2𝜋 el uno del otro. Por tanto, geométricamente estarán en una recta paralela al eje imaginario de abscisas x = Ln 𝜌.

Se llama valor principal del logaritmo al valor K tal que:

K = Ln 𝜌 + ⍺i

Caso particular

  • Reales negativos en el campo complejo
Sabemos que en el campo real no tienen logaritmo los reales negativos. Vamos a verlo en el conjunto C.

μ = -a = a𝜋

Ln μ = z = Ln a + (⍺ + 2K𝜋)i = Ln a + (2K + 1)·𝜋i y el valor principal z₀ = Ln a + 𝜋i, tienen infinitos logaritmos.

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