Traslaciones en el espacio

 Dado un vector v, se llama traslación en el espacio a la correspondencia por la que a cada punto P(x, y, z) del espacio se le asocia un punto P'(x', y', z') de modo que el vector PP' es equivalente al v.

Mediante la traslación de vector, v se transforma en la semirrecta de origen P en la de origen P', y de sentido el mismo que P.

Por otra parte, el semiplano 𝛼 queda transformado en sí mismo.

Ecuación de la traslación en el espacio

Para el espacio sólo tenemos que considerar una componente más:

  • x₂ = x₁ + a
  • y₂ = y₁ + b
  • z₂ = z₁ + c

Ejemplo

Dada la recta r y el plano 𝜋:

  • r ≡ x/2 = (y+1)/-1 = (z+2)/-3
  • 𝜋 ≡ 3x +2y + 3z -6 = 0

aplicar la traslación:

  • x' = x+1
  • y' = y-2
  • z' = z + 2

Para la recta:

  • x = x' - 1
  • y = y' + 2
  • z = z' -2

Sustituyendo:

  • (x'-1)/2 = [(y'+2)+1]/-1 = [(z'-2)+2]/-3
  • r' ≡ (x'-1)/2 = (y'+3)/-1 = z'/-3

que es la ecuación de la recta transformada.

Para el plano 𝜋≡3x + 2y + 3z -6 = 0 sustituimos como el caso anterior:

  • 𝜋'≡3(x'-1) + 2(y'+2) + 3(z'-2) -6 = 0
  • 𝜋'≡3x'+2y'+3z'-11 = 0

Propiedades de las traslaciones en el espacio

  1. Dos puntos homólogos PP' en una traslación AA' determinan un vector PP' igual y paralelo al vector AA'.
  2. Dos rectas homólogas de una traslación son paralelas.
  3. La transformada de un plano es otro plano paralelo: las intersecciones de dos planos paralelos con un tercero son rectas paralelas.
  4. Dos planos paralelos pueden transformarse en otro mediante la traslación definida por el vector AA' que une dos puntos cualesquiera.

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