Cambio de base

 Sea A = {a₁, a₂, ..., aₙ} y B = {b₁, b₂, ..., bₙ} dos bases del espacio vectorial (Vₙ, +, ·, R) sobre R, considerando un  vector V del espacio vectorial debemos encontrar una relación de las coordenadas de V respecto a las bases A y B.

Necesitamos conocer las coordenadas de los vectores de una base respecto de la otra, supongamos, por ejemplo, conocidas las coordenadas de los vectores de A respecto de B:

a₁ = a₁₁b₁ + a₁₂b₂ + ... + a₁ₙbₙ

...............................................

aₙ = aₙ₁b₁ + aₙ₂b₂ + ... + aₙₙbₙ

y el vector V quedaría expresado respecto a la base B como:

V = x₁'b₁ + x'₂b₂ﱣٰ' + ... + x'ₙbₙ

y respecto a la base A:

V = x₁a₁ + x₂a₂ + ... + xₙaₙ

Por lo tanto, el vector V podría ser expresado como:

V = x₁(a₁₁b₁ + a₁₂b₂ + ... + a₁ₙbₙ) + ... + xₙ(aₙ₁b₁ + aₙ₂b₂ + ... + aₙₙbₙ) (1)

donde hemos sustituido a₁, a₂, ..., aₙ, por las expresiones que les corresponden en función de sus coordenadas respecto a la base B:

V = x'₁b₁ + x'₂b₂ + ... + x'ₙbₙ (2)

Igualando (1) = (2), y comparando los términos de ambas, obtenemos las ecuaciones que nos sirven para realizar los cambios de base. Veremos un ejemplo en la siguiente entrada.