Ejercicios sobre espacios vectoriales

 Algunos ejercicios para poner en práctica lo aprendido en este tema de espacios vectoriales.

Ejercicio 1

Dado el conjunto V formado por ternas (x, y, z) tal que x, y, z ∈ Q³ y además 2x + y - z = 0, tenemos que demostrar que V es espacio vectorial sobre Q.

Solución

Para comprobar que V es un espacio vectorial sobre Q, podemos aplicar la condición necesaria y suficiente el teorema que reduce a una condición la caracterización de espacios vectoriales.

Por lo tanto, debe verificarse que:

𝛼(x, y, z) + 𝛽(x', y', z') ∈ V

siendo

𝛼, ꞵ ∈ R

Tenemos:

𝛼(x, y, z) + 𝛽(x', y', z') = (𝛼x, 𝛼y, 𝛼z) + (𝛽x', 𝛽y', 𝛽z') = (𝛼x + 𝛽x', 𝛼y + 𝛽y', 𝛼z + 𝛽z')

Hemos obtenido un nuevo elemento de tres términos que hemos de demostrar que pertenece a V, para lo cual se debe de verificar:

2x + y -z = 0; 2(𝛼x + 𝛽x') + (𝛼y + 𝛽y') - (𝛼z + 𝛽z') = 0

Quitamos paréntesis:

2𝛼x + 2𝛽x' + 𝛼y + 𝛽y' - 𝛼z + 𝛽z' = 0

Agrupando términos:

2𝛼x + 𝛼y - 𝛼z + 2𝛽x' + 𝛽y' - 𝛽z' = 0

Sacando factor común 𝛼 y 𝛽:

𝛼(2x + y - z) + 𝛽(2x' + y' - z') = 𝛼·0 + 𝛽·0 = 0

Pues:

• 2x + y - z = 0
• 2x' + y' - z = 0

por ser (x, y, z), (x', y', z') ∈ V. Por lo cual, V es un espacio vectorial sobre Q.

Ejercicio 2

Determinar los valores que deben tomar a y b para que V = (1, -3, a, b) pueda expresarse como combinación lineal de los siguientes vectores:

• A = (4, 3, -1, 0)
• B = (5, 2, 1, 1)

Solución

Debe verificarse que

xA + yB = V

Sustituyendo:

• x(4, 3, -1, 0) + y(5, 2, 1, 1) = (1, -3, a, b)
• (4x, 3x, -1·x, 0·x) + (5y, 2y, y, y) = (1, -3, a, b)

Agrupando en términos semejantes estas cuatro ecuaciones, nos permitirá obtener las cuatros incógnitas, que son x, y, a, b. Tomamos las dos primeras para obtener  x e y.

3(4x + 5y) = 1

-4(3x + 2y) = -3

Resolviendo el sistema, obtenemos y = 9/7. Sustituyendo este valor, tenemos que x = 19/14. Conocidos estos valores, los sustituimos en las dos últimas ecuaciones, y obtenemos b = 9/7, a = -1/14.

Ejercicio 3

Sean a, b y c tres vectores linealmente independientes de un espacio vectorial. Tenemos que justificar la dependencia o independencia lineal de los siguientes subconjuntos:

• A = {a + b, a, b}
• B = {a, a - b, c}

Solución

Debemos comprobar si cada uno de estos subconjuntos están formando o no sistemas libres. El primero:

A = {a+b, a, b}

Es evidente que a y b son linealmente independientes, pues así se enuncia en el ejercicio. En cuanto al vector a + b puede ser obtenido como suma de los otros dos, con lo cual es dependiente de ellos y el sistema así formado es ligado.

El segundo caso:

B = {b, a-b, c}

Como en el caso anterior, b y c son linealmente independientes, pues el vector a - b puede ser obtenido como sigue:

(a - b) = 𝜆₁a + 𝜆₂b, donde 𝜆₁ = 1, 𝜆₂ = -1

Por lo tanto, son linealmente dependientes.