Los subespacios vectoriales

 Se llama subespacio vectorial de V sobre R a todo subconjunto W ⊂ V respecto de la suma y producto definidos en V sea (W, +, ·, R) un espacio vectorial.

Cualquier espacio vectorial (V, +, ·, R) posee, al menos, dos subespacios vectoriales llamados triviales o impropios, y que son el propio espacio vectorial y el formado por el elemento neutro de la ley de composición interna (0, +, ·, R). Cualquier otro subespacio vectorial de V distintos de los anteriores recibe el nombre de subespacio propio.

Para caracterizar a un subconjunto W (no vacío) del espacio vectorial como un subespacio V debe verificar las propiedades del espacio vectorial.

Teoremas sobre subespacios vectoriales

La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto W del espacio V sobre R sea un subespacio vectorial es que para cualquier 0X, 0Y ∈ W y 𝛼 ∈ R debe verificarse que:

0X + 0Y ∈W
𝛼·0X∈ W

Demostración

Es condición necesaria, evidentemente, ya que por ser A subespacio vectorial las operaciones (+) y (·) son leyes de composición interna y externa:
  • ∀ 0X, 0Y∈ W => 0X + 0Y ∈ W
  • ∀ 𝛼 ∈ R, ∀ 0X∈ W => 𝛼·0X ∈ W
Demostrada la condición anterior, debemos demostrar ahora que W es un grupo abeliano (W, +).

Por tanto, hemos supuesto que (+) es ley de composición interna, verificándose las propiedades asociativa y conmutativa por serlo (V, +) y ser W ⊂ V.
  • (W, +) tiene como elemento neutro el mismo que (V, +).
  • El resto de propiedades de un espacio vectorial son también propiedades de (W, +, ·, R) por serlo de (V, +, ·, R), que es un espacio vectorial.
Este teorema reduce a una condición la caracterización de espacios vectoriales.

La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto W del espacio vectorial (V, +, ·, R) sea subespacio vectorial es que para cualquier 0X, 0Y ∈ W y 𝛼, 𝛽 ∈ R se verifique:

𝛼0X + 𝛽0Y ∈ W

Demostración

La condición es evidentemente necesaria y es suficiente porque si hacemos 𝛼＝𝛽＝1 obtenemos que:

0X + 0Y ∈ W

que es la primera condición del teorema anterior.

En cambio, si 𝛽 = 0=> 𝛼·0X ∈ W, verificándose la condición segunda.

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