Propiedades de los espacios vectoriales

 Si V es un espacio vectorial real se verifican las siguientes propiedades:

1. El elemento 0 es el neutro para la suma de vectores
2. Tenemos que 𝛼·0 = 0
3. Los elementos (-𝛼)·0X y (𝛼)·0X son opuestos (su suma es el vector 0)
4. (-1)·0X = -0X
5. La ley externa no posee divisores de cero.
6. Todo elemento distinto de los neutros de R y V para la ley de composición interna son regulares para la ley externa, verificando que 𝛼·0X = 𝛼·0Y => 0X = 0Y, ∀𝛼≠0, y también verificando que 𝛼·0X = 𝛽·0X => 𝛼 = β.

Combinación lineal de vectores

Sea A {a₁, a₂, a₃,...,aₙ} un subconjunto finito de elementos de (V, +, R) al que llamamos sistema de vectores. Se dice entonces que un vector V ∈V es una combinación lineal del sistema formado por los n vectores del subconjunto A si existen n escalares 𝛼₁, 𝛼₂,..., 𝛼ₙ de R tales que

𝛼₁a₁ + 𝛼₂a₂ + ... + 𝛼ₙaₙ = V

donde 𝛼₁, 𝛼₂, ..., 𝛼ₙ se denominan coeficientes de la combinación lineal del sistema A de n vectores que forman un subespacio vectorial de (V, +, ·, R).

Si C es el conjunto de los vectores que son combinación lineal de los vectores del sistema A, sean V, W ∈ C y 𝛼, 𝛽 ∈ R

𝛼·V + 𝛽·W = 𝛼·(𝛼₁·a₁ + ... + 𝛼ₙ·aₙ) + β(𝛽₁·a₁ + ... + 𝛽ₙ·aₙ) = (𝛼𝛼₁+𝛽𝛽₁)a₁ + ... + (𝛼𝛼ₙ + ꞵꞵₙ)aₙ

y como:

(𝛼𝛼₁+𝛽𝛽₁), (𝛼𝛼₂+𝛽𝛽₂), ..., (𝛼𝛼ₙ+𝛽𝛽ₙ) ∈ R

entonces:

(𝛼𝛼₁+𝛽𝛽₁)a₁ + ... + (𝛼𝛼ₙ + 𝛽𝛽ₙ)aₙ ∈ C

Sistema generador

Si el subespacio de todos los vectores resultantes de la combinación lineal de los vectores del sistema A = {a₁, a₂, ..., aₙ} coincide con el espacio vectorial (V, +, ·, R) sobre R, se dice que A es un sistema de generadores para V

∀ u ∈ V ∃𝛼₁,𝛼₂, ...,, 𝛼ₙ ∈ R

tal que

u = 𝛼₁a₁ + 𝛼₂a₂ + ... + 𝛼ₙaₙ

Es decir, los vectores a₁, а₂, ..., aₙ de un espacio vectorial V sobre R forman un sistema de generadores de V si todo vector u ∈ V es una combinación lineal de los vectores de A.