Base de un espacio vectorial

 Se define como base de un espacio vectorial (V, +, ·, R) sobre R a un subconjunto de vectores A, tal que:

1. A es un sistema de generadores de V
2. El sistema de vectores de A son linealmente independientes.

Se llama dimensión de un espacio vectorial (V, +, ·, R) sobre R al número de vectores que forman una cualquiera de sus bases. Cuando existe un sistema finito de generadores para V se dice que el espacio vectorial (V, +, ·, R) es de dimensión finita.

Teoremas sobre bases

Cualquier espacio vectorial (V, +, ·, R) sobre R, de dimensión finita y que se reduce a 0, tiene al menos, una base.

Demostración

Tenemos un sistema A = {a₁, a₂, ... , aₙ} que es sistema generador de V, si tomamos un conjunto de estos valores a modo que:

1. Ninguno sea 0.
2. Ninguno sea combinación lineal de los demás.

Tendremos un A' que será un sistema libre de generadores, pues cualquier vector de V depende de A, y cualquier vector de A depende de A'.

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En un espacio vectorial de dimensión finita todas las bases tienen el mismo número de vectores.

Demostración

Consideremos dos bases del espacio vectorial:

A = {a₁, a₂, ..., aₙ}

B = {b₁, b₂,..., bₙ}

Podemos expresar cualquier elemento de B como combinación lineal de los elementos de A, por tanto el conjunto

C₁ = {a₁, b₁, a₂, b₂, ..., aₙ, bₙ}

es un sistema de generadores y es linealmente dependiente. Podríamos ir definiendo sucesivos conjuntos C₂, C₃ formados por sistemas de generadores ligados

C₂ = {b₁, a₁, ..., aₚ} p <n y 1+p ≤n

C₃ = {b₁, b₂, a₁,..., aⱼ} j<p y 2+j≤n

cuya dimensión será m+r y m ≤ m+r ≤  n.

Si repetimos el mismo razonamiento formando sistemas generadores ligados añadiendo elementos de A en un subconjunto de elementos de B obtendríamos esta otra relación: n ≤ m. Por lo tanto, si m ≤ n y n ≤ m, entonces m =n, por lo que ambas bases tienen la misma dimensión.

NOTA: Para cualquier vector del espacio vectorial llamamos coordenadas de un vector X de (V, +, ·, R) respecto de la base U = {U₁, U₂, ..., Uₖ} a los escalares X₁, X₂, ..., Xₖ, tal que:

X = X₁u₁ + X₂u₂ + ... + Xₖuₖ

Cada Xᵢ recibe el nombre de coordenada de índice i del vector X respecto de la base U.