Ejercicio sobre bases

 Un ejercicio sobre lo explicado sobre bases en entradas anteriores.

Ejercicio

Demuestra que los vectores de V0,5 del conjunto:

A = {(0, 0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

forman una base en V0,5 e indica las dimensiones de esta base.

Solución

Sabemos que las condiciones para que un conjunto de vectores sea una base son:

  1. Que el conjunto de vectores dado sea un sistema de generadores de V0,5.
Si tenemos un vector (x₁, x₂ , x₃, x₄, x₅) del espacio V0,5 y puede expresarse como combinación lineal de los vectores de A, entonces A será un sistema generador. En este ejemplo tenemos:

(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) = x₅(0, 0, 0, 0, 1) + x₄(0, 0, 0, 1, 0) + x₃(0, 0, 1, 0, 0) + x₂(0, 1, 0, 0, 0) + x₁(1, 0, 0, 0, 0)
  1. Además, estos vectores deben ser linealmente independientes, es decir:
𝛼₁(0, 0, 0, 0, 1) + 𝛼₂(0, 0, 0, 1, 0) + 𝛼₃(0, 0, 1, 0, 0) + 𝛼₄(0, 1, 0, 0, 0) + 𝛼₅(1, 0, 0, 0, 0) = 0

que sólo se cumple para 𝛼₁=𝛼₂=𝛼₃=𝛼₄=𝛼₅=0.

La dimensión de esta base es 5.

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