Teorema de Steinz

 En este teorema se relacionan dos conjuntos de vectores, siendo uno de ellos un sistema generador y otro un sistema libre de vectores, y teniendo ambas dimensiones diferentes, se enuncia como sigue:

Sea (V, +, ·, R) un espacio vectorial A = a₁, ..., aₘ un sistema generador de V y B = {b₁, ..., bₚ} un sistema de vectores libre, entonces p ≤ m y pueden sustituirse los vectores de A por vectores de B resultando un sistema generador.

Demostración

Como A es un sistema generador de V, los vectores de B serán combinación lineal de los de A y podremos escribir un nuevo sistema generador:

C = {b₁, a₂, ..., aₘ}

de cuya combinación lineal de vectores podemos obtener b₂, teniendo en cuenta que b₁ y b₂ son linealmente independientes (tal y como se ha enunciado) y que por tanto:

b₂ = λ₁b₁ + λ₂a₂ + ...  + λₘaₘ

donde algún λ sea distinto de cero. Podríamos continuar el proceso de obtención de conjuntos de vectores como el C hasta que nos planteáramos dos casos:

1. p>m supondría que el conjunto {b₁, ..., bₘ} es un sistema generador y los restantes elementos de B serían combinación lineal de los anteriores. Es imposible, pues B es un sistema libre.
2. p≤ m, B es entonces un sistema de generadores como queríamos demostrar.

Podemos decir en consecuencia:

1. A es una base si y sólo si para todo el conjunto B = {bᵢ, ..., bₚ} de vectores de U se verifica que p≤m.
2. A es una base de V si y sólo si para todo conjunto B = {bᵢ,..., bₚ} de generadores de V se verifica que p>m.
3. La dimensión de un subespacio vectorial de V es igual al máximo número de vectores linealmente independientes del subespacio vectorial.