Introducción a los espacios vectoriales

 Sea (R, +, ·) un cuerpo conmutativo cuyos elementos se llaman operadores o escalares y se representan por 𝛼, 𝛽, 𝛾...

Sea V un conjunto cualquiera del espacio. En V definimos una ley de composición interna + y una ley de composición externa respecto al cuerpo R.

Operación suma

Siendo V el conjunto de vectores fijos de origen 0 y extremo cualquier punto del espacio y que representamos como 0X, 0Y, definimos como ley de composición interna la operación suma de vectores aplicada a dos elementos de V, obtenemos un vector que también es un elemento de V.

Definida la ley de composición interna, se verifican también las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa

∀0X, 0Y ∈ V se cumple que 0X + 0Y = 0Y + 0X

Propiedad asociativa

∀0X, 0Y, 0Z ∈ V se cumple que 0X + (0Y + 0Z) = (0X + 0Y) + 0Z

Existencia del elemento neutro

∃00 tal que 0X + 00 = 0X

Existencia del elemento simétrico

∀0X, ∃ 0X' siendo 0X, 0X' ∈ V tal que 0X + 0X' = 00

Por lo tanto (V, +) es un grupo abeliano, es decir, verifica las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y elemento simétrico.

Producto por un escalar

Un grupo abeliano (V, +) diremos que tiene estructura de espacio vectorial sobre un cuerpo R cuando se define la multiplicación que cumple las siguientes propiedades.

Si llamamos producto del número real 𝛼 por el vector 0X de V al vector 0Y de origen 0 y extremo Y tal que |0Y| = |𝛼||0X|, dirección de 0Y = 0X, y sentido igual u opuesto según el signo de 𝛼 queda definida una ley de composición externa de modo que ∀ 0X, 0Y ∈ V y ∀ y ∈ R se verifican las propiedades siguientes:

  1. 𝛼(0x + 0Y) = 𝛼·0X + 𝛼·0Y, distributiva de la ley externa respecto de la interna.
  2. (𝛼+𝛽)·0X = 𝛼·0X + 𝛽·0X, distributiva de la ley interna respecto de la externa.
  3. 𝛼·(𝛽·0X) = (𝛼𝛽)0X, asociativa mixta.
  4. Neutralidad de la ley externa, es decir, 1·0X = 0X, 1 R.

Por lo tanto, el conjunto (V, +, ·, R) tiene estructura de espacio vectorial sobre R.

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