Distancia de un punto a una recta

 Dada la recta en forma normal:

(x-x₀)/cos 𝛼 = (y - y₀)/cos 𝛽 = (z - z₀)/cos 𝛾

y el punto P(x₁, y₁, z₁).

Si unimos la recta y el punto mediante una perpendicular PQ y además trazamos una recta desde P hasta R(x₀, y₀, z₀) que es un punto fijo de la recta y tenemos:

d² = PR² - RQ²

siendo

PR² = (x₀-x₁)²+(y₀-y₁)²+(z₀-z₁)²

Si trazamos por P y R planos paralelos a xz, xy, zy, obtenemos un paralelepípedo cuya diagonal es precisamente RP y a su vez la proyección de esta sobre RQ es:

RQ = (x₁-x₀)·cos 𝛼 + (y₁-y₀)·cos 𝛽 + (z₁-z₀)·cos 𝛾

de donde:

d² = (x₁-x₀)² + (y₁-y₀)² + (z₁-z₀)² - [ >(x₁-x₀)·cos 𝛼 + (y₁-y₀)·cos 𝛽 + (z₁-z₀)·cos 𝛾]

Si la recta viene dada en forma ordinaria:

  • (x-h)/a =(y-k)/b = z/1
  • x₀ = h
  • y₀ = k
  • z₀ = 0

la distancia viene dada por:

d = √{[(y₁-k)·cos 𝛾 - z₁·cos 𝛽]² + [z₁·cos 𝛼 - (x₁-h)·cos 𝛾]² + [(x₁-h)·cos 𝛽 + (y₁-k)·cos 𝛼]²}

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