Distancia entre dos rectas

 Para medir esta distancia, buscamos la perpendicular común obtenida trazando por una de ellas r₂ un plano que sea paralelo a r₁. Desde el punto P de r₁ trazamos la perpendicular al plano y por el punto de corte Q de esta perpendicular con el plano trazamos una recta paralela. Esta recta s cortará a la recta r₂ en un punto R y la normal trazada por este punto R es la perpendicular común.

Como PQ = RS = d, tenemos que r₁:

• x = az + h
• y = bz + k

y r₂:

• x = a'z + h'
• y = b'z + k'

El plano que contiene a r₂ tiene por ecuación:

• x - a'z - h' + 𝜆·(y - b'z -k') = 0
• x + 𝜆y - (a'+b'𝜆)z - (h'+ 𝜆k') = 0

y la condición de paralelismo:

a + 𝜆b - (a' + b'𝜆) = 0

por lo que:

𝜆 = -(a - a')/(b - b')

y el plano paralelo:

(b - b')x - (a-a')y + (ab' - ba')z + (a - a')k' - (b-b')h' = 0

Si por el punto P tomamos la traza de r₁ sobre el plano xy la distancia es:

d = ±[(b-b')h - (a-a')k + (a-a')k' -(b-b')h']/√[(a-a')²+(b-b')² + (ab' - ba')²]

Si las rectas se cortan, se anula el numerador, por lo que la d = 0.