Distancia entre dos puntos

 Dados dos puntos P(x₁, y₁, z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂) pertenecientes a la recta r. Si dichos por dichos puntos trazamos 6 planos paralelos a los coordenados (que pueden ser rectangulares o no) obtendremos un paralelepípedo que tendrá por diagonal la recta que une ambos puntos: P₁ y P₂.

Paralelepípedo de ejemplo

Ejes no rectangulares

En ejes no rectangulares, las aristas quedan definidas:

  • BC = x₂ - x₁
  • CP₁ = y₂ - y₁
  • BP₂ = z₂ - z₁

Si proyectamos la línea P₁CBP₂ ortogonalmente obtendremos P₁P₂ sobre la recta r y los ejes.

  1. d = (x₂ - x₁)cos xr + (y₂ - y₁)cos yr + (z₂ - z₁) cos zr
  2. dcos xr = (x₂ - x₁) + (y₂ - y₁)cos xy + (z₂ - z₁) cos xz
  3. dcos yr = (x₂ - x₁)cos yx + (y₂ - y₁)+ (z₂ - z₁) cos yz
  4. dcos zr = (x₂ - x₁)cos xz + (y₂ - y₁)cos zy + (z₂ - z₁) 

Si multiplicamos la primera ecuación por d:

d² = (x₂ - x₁)d cos xr + (y₂ - y₁)d cos yr + (z₂ - z₁)d cos zr

y sustituimos los valores de d cos xr, d cos yr, d cos zr:

d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)² + 2(y₂ - y₁)((z₂ - z₁)cos yz + 2(z₂ - z₁)(x₂ - x₁)cos zx + 2(x₂ - x₁)(y₂ - y₁)cos xy]

Ejes rectangulares

La fórmula sería:

d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]

Si uno de los puntos es el origen (0, 0, 0):

d = √(x₁² + y₁² + z₁²)

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