Coordenadas paramétricas

 En ocasiones, las coordenadas de un punto vienen dadas en función de una tercera variable (parámetro).

x = f(t)

y = g(t)

pudiéndose pasar a la forma implícita sin más que eliminar el parámetro, si esto es posible. Se dice que se tienen las ecuaciones de la línea en paramétricas. Aunque se puede eliminar el parámetro, puede convenir realizar un estudio y representación partiendo precisamente de las ecuaciones paramétricas.

Por otra parte, hay que tener en cuenta que al eliminar el parámetro puede haberse introducido un nuevo arco de curva, por ejemplo, si:

x = t²

y = t⁴

Esta curva, para todo número t real, se ve que se encuentra en el primer cuadrante, mientras que si se elimina el parámetro, se obtiene una parábola situada en el primer y cuarto cuadrante y = x².

Este problema se da con cierta frecuencia en las curvas dadas en paramétricas da lugar a lo que se conoce como representación impropia.

El problema inverso, consistente en pasar a paramétricas una curva dada en forma explícita o implícita puede entrañar algunas dificultades. Generalmente, puede interesar cuando las ecuaciones en paramétricas no resultan complicadas y especialmente si son funciones racionales de un parámetro.

De explícitas a paramétricas

Se consigue tomando como parámetro la variable independiente.

y = f(x)=> x = t, y =f(t)

De implícitas a paramétricas

El problema no siempre tiene solución (de lo contrario, no tendría sentido el estudio de las funciones implícitas). No obstante para casos concretos conviene observar las siguientes reglas:

1.

Toda curva de grado n con un punto múltiple de orden (n-1) se puede pasar a paramétricas cortándola por una recta

y-y₀=t(x-x₀)

xₙ = f(t) la enésima que junto con y-y₀=t(x-x₀) nos proporcionan las paramétricas.

Ejemplo

La función x² -2y²+6x²y = 0 tiene el (0, 0) doble, luego y = tx nos da :

x = (2t² -1)/6t, y = tx

2.

Cuando se logra escribir la ecuación como suma o diferencia de cuadrados de dos o más funciones lineales (cónicas), las funciones sen y cos o bien sh (seno hiperbólico) y ch (coseno hiperbólico)

Ejemplo

(x - y + 1)² + (2x - 5y +3)² = 7

x - y + 1 = √7·cos t

2x -5y + 3 = √7·sen t

Por lo que:

• x = x(t) = √7/3·(5cos t - sen t) - 2/3
• y = y(t) = √7/3(2 cos t - sen t) + 1/3

3.

En general, cortando por una línea que tenga conocidos todos los puntos de intersección menos uno o dos, se consigue el efecto deseado:

(x² + y²)² = ax² + by² (cuártica bicircular con el origen como punto doble).

Al cortarla por la circunferencia x² + y² = tx que también pasa por el origen y por los cíclicos, nos da:

(x² + y²)² = ax² + by²

x²+y² = tx

Por lo que:

x = bt/(t²+b -a)

y = ±√(tx - x²)

En este caso, no resulta función racional la ordenada.

4.

Tratando de llegar a la resolución de sistemas entre variables.

Ejemplo

e^x²+y² = K·Ln(x² - y²)

Haciendo x²-y²= t, resulta x² + y² = Ln(Ln(t)) + LnK, de donde pueden despejarse x, e y.