Coordenadas pluckerianas o tangenciales

 Se ha visto que Ax + By + C = 0 es la ecuación de una recta cualquiera. Si esta recta no pasase por el origen, haciendo A/C = u, B/C = v, obtendremos ux + vy + 1 = 0 (1). Es decir, que el par (u, v) o la terna (A, B, C) en homogéneas, definiría a la recta. Por esto se dice que la recta tiene por coordenadas (u, v). Correlativamente, el punto tendrá ecuación y será mu + nv + p = 0 (2) que no es más que la relación entre las coordenadas de rectas que pasan por él.

En particular pasan las u₂ = 0, v₂ = u₁ = -p/m, v₁ = 0, cuyas ecuaciones serían:

• (-p/m)·x + 1 = 0
• (-p/n)·y + 1 = 0

que se cortan en el punto (m, n, p) (3), que se asocia a la ecuación (2) y resulta fácil el paso de cartesianas a pluckerianas (y viceversa).

El plano, en estas coordenadas, viene como un conjunto de rectas y las líneas como conjuntos de sus tangentes, en contraposición al plano como conjunto de puntos y línea como conjunto de puntos que verifica su ecuación cartesiana.

Ejemplo

Rectas:

• (0, 1, 0) el OX
• (1, 0, 0) el OY

Paralelos a los ejes:

• (a, 0, -1)
• (0, b, -1)

Cualquiera que no pasa por el punto límite:

• (u, v, w)

Puntos

• u = 0 impropio de OX
• v = 0 impropio de OY
• au + 1 = 0 del eje OX
• bv + 1 = 0 del eje OY
• au + bv + 1 = 0, (a, b, 1)
• cualquiera que sea el límite

Ecuación de una circunferencia de centro (a, b) y radio R

Se expresa que la recta (u, v), ux + vy + 1 = 0 dista R del centro:

(ua + vb + 1)/(√(u²+v²)) = R

Operando y simplificando:

(u²+v²) = (1/R²)·(ua + vb + 1)²

Por lo tanto, si (a, b) = (0, 0):

u² + v² = (1/R)²

Es útil el empleo de coordenadas pluckerianas en el estudio de tangentes comunes a dos líneas, ya que se reduce a resolver un problema de dos ecuaciones con dos incógnitas (u, v).