Coordenadas polares en el plano

 Sea un sistema de referencia ortonormal  en el plano y consideremos un punto P(x, y) distinto del origen (0, 0). Este punto puede representarse por la distancia del punto al origen de coordenadas (0, 0) llamando a dicha distancia 𝙥 y por el ángulo que forma el vector OP con el eje de abscisas.

Ejemplo de coordenadas polares

al punto O se le llama polo y al eje OX eje polar.

Por otro lado, dado el par (𝙥, φ) queda determinado P y por lo tanto, hay que restringir el intervalo de variación de φ para [0, 2𝜋].

El cambio de eje polar viene dado por la ecuación:

⍵ = 𝛼 + ⍵₁

Cambio de eje polar

La traslación del eje polar:

  • 𝙥² = h² + d² - 2𝙥₁·d cos(𝜋 - 𝛼 + ⍵₁)
  • 𝙥² = h² + d² - 2𝙥₁·d cos(⍵₁ - 𝛼)

Traslación eje polares

Podemos deducir a través de la trigonometría:

h/d = sen(𝛼-⍵)/sen(⍵-⍵₁)

Aplicando las correspondientes propiedades trigonométricas:

h/d = (sen 𝛼 · cos ⍵ - cos 𝛼 ·sen ⍵)/(sen ⍵ cos ⍵₁ - cos ⍵ sen ⍵₁)

Simplificando:

h/d = (sen 𝛼 - cos 𝛼 tg ⍵)/(tg ⍵ · cos ⍵₁ - sen ⍵₁)

Por lo que:

tg ⍵ = (h·sen 𝛼 + d·sen 𝛼)/(h·cos ⍵₁ + d·cos 𝛼)

Paso de polares a cartesiano:

Paso de polar a cartesiano

Utilizando trigonometría:

O'N/(sen [O - (⍵ + 𝛼)] = MN/(sen(⍵ + 𝛼) = O'M/sen 𝛉

Por lo que:

(x - ⍵)/(sen [O - (⍵ + 𝛼)] = (y -b)/(sen(⍵ + 𝛼) = 𝙥/sen 𝛉

Simplificando:
  • x = a + 𝙥·(sen 𝛉 - ⍵ - 𝛼)/sen 𝛉
  • y = b + 𝙥·(⍵ + 𝛼)/sen 𝛉
Si 𝛉 = r/2:
  • x = a +𝙥·cos(⍵ + 𝛼)
  • y = b + 𝙥·sen(⍵ + 𝛼)
Si el eje polar coincide con el x y el polo coincide con el eje de coordenadas y los ejes cartesianos son rectangulares:
  • x = 𝙥·cos ⍵
  • y = 𝙥·sen 𝙥
  • 𝙥 = √(x²+y²)
  • tg ⍵ = y/x
Y si consideramos las coordenadas polares en el espacio tenemos:
  • x = 𝙥·cos 𝛼
  • y = 𝙥·cos ꞵ
  • z = 𝙥·cos ℽ
  • cos² 𝛼 + cos² ꞵ + cos² ℽ = 1
  • 𝙥 = √(x²+y²+z²)

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