Transformación de coordenadas cartesianas en el espacio

 Ahora, el cambio en el origen:

x = a + x', y = b + y', z = c + z'

Cambios de la dirección de los ejes

  • b = (cos 𝝰', cos 𝝱', cos 𝜸')
  • a = (cos 𝝰, cos 𝝱, cos 𝜸)
  • a·b = cos 𝛉 = cos 𝝰 · cos 𝝰' + cos 𝝱·cos 𝝱' + cos 𝜸·cos 𝜸'
  • 𝛉 = 90º; cos 𝝰 · cos 𝝰' + cos 𝝱·cos 𝝱' + cos 𝜸·cos 𝜸' = 0
  • 𝛉 = 0; cos² 𝝰 + cos² 𝝱 + cos² 𝜸

Si no son rectangulares ninguna

Tras realizar las proyecciones sobre el eje x, tenemos:
  • x + y·cos ƛ + z·cos 𝞵
  • x'·cos 𝝰₁ + y'·cos 𝝰₂ + z'·cos 𝝰₃
al igual proyectado sobre eje y, sobre el z:
  • x + y·cos ƛ + z·cos 𝞵 =  x'·cos 𝝰₁ + y'·cos 𝝰₂ + z'·cos 𝝰₃
  • x·cos 𝝀 + y + z·cos 𝘷 = x'·cos 𝝱₁ + y'·cos 𝝱₂ + z'·cos 𝝱₃
  • x·cos 𝛍 + y·cos 𝘷 + z = x'·cos 𝜸₁ + y'·cos 𝜸₂ + z'·cos 𝜸₃
Los nombres pueden decidirlos tú. Si tenéis alguna duda sobre como realizar proyecciones, podéis consultar este enlace de otro de mis blogs.

Si son primitivos los ejes rectangulares

  • x = x'·cos 𝝰 + y'·cos 𝝰' + z'·cos 𝝰''
  • y = x'·cos 𝝱 + y'·cos 𝝱' + z'·cos 𝝱''
  • z = x'·cos 𝜸 + y'·cos 𝜸' + z'·cos 𝜸''
Además se ha de verificar:
  • cos² 𝝰 + cos² 𝝱 + cos² 𝜸 = 1
  • cos² 𝝰' + cos² 𝝱' + cos² 𝜸' = 1
  • cos² 𝝰'' + cos² 𝝱'' + cos² 𝜸'' = 1
Si además, los nuevos ejes, son también rectangulares:
  • cos 𝝰·cos 𝝰' + cos 𝝱·cos 𝝱' + cos 𝜸·cos 𝜸' = 0
  • cos 𝝰·cos 𝝰'' + cos 𝝱·cos 𝝱'' + cos 𝜸·cos 𝜸'' = 0
  • cos 𝝰'·cos 𝝰'' + cos 𝝱'·cos 𝝱'' + cos 𝜸'·cos 𝜸'' = 0
También:
  • cos 𝝰·cos 𝝱 + cos 𝝰'·cos 𝝱' + cos 𝝰'' · cos 𝝱'' = 0
  • cos 𝝰·cos 𝜸 + cos 𝝰'·cos 𝜸' + cos 𝝰'' · cos 𝜸'' = 0
  • cos 𝜸·cos 𝝱 + cos 𝜸'·cos 𝝱' + cos 𝜸'' · cos 𝝱'' = 0
Todos estos cálculos se basan en proyecciones y trigonometría. Puedes echar un vistazo a esos temas, tanto en este blog como en otros.

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