Ecuaciones de la recta

 La recta se representa en el espacio por un sistema lineal de dos ecuaciones. 

Dados un punto fijo y una dirección

Sea un punto fijo A(x₁, y₁, z₁) y una dirección 𝛿, se determinará una recta si trazados desde el origen la paralela a la recta que pasa por el origen pasa por dicho punto fijo A y sobre ella tomamos el punto D(p, q, r).

Todo punto variable de la recta M(x, y, z) se determina por un parámetro:

𝜌 = AM/OD

Si consideramos las proyecciones:

proy(AM)/proy(OD) = AM/OD = 𝜌

y despejamos:

• proy(AM) = 𝜌·proy(OD)
• proy(OM) = proy(OA) + proy(AM) = proy(OA) + proy(OD)𝜌

Por lo que referimos a las proyecciones de los ejes coordenados:

• x = x₁ + p·𝜌
• y = y₁ + q·𝜌
• z = z₁ + r·𝜌

Siendo pqr los cosenos directores de la recta, parámetros de proyección sobre los ejes. En caso de ser los ejes coordenados rectangulares, estos parámetros son los cosenos directores de la recta, si la distancia OD = 1.

Dados dos puntos fijos

Sean los puntos fijos A(x₁, y₁, z₁) y B(x₂, y₂, z₂) y M un punto cualquiera de la recta, el parámetro variable lo tomaremos como razón simple:

AM/BM = -𝜆

Y de aquí podemos obtener:

• (x - x₁)/(x-x₂) = -𝜆
• x - x₁ = -𝜆x + 𝜆x₂
• x(1 + 𝜆) = x₁ + 𝜆x₂⇒ x = (x₁ + 𝜆x₂)/(1+𝜆)

Aplicando el mismo razonamiento para y, z:

• y = (y₁ + 𝜆y₂)/(1+𝜆)
• z = (z₁ + 𝜆z₂)/(1+𝜆)

de donde las ecuaciones paramétricas de la recta son:

• x = (x₁ + 𝜆x₂)/(1+𝜆)
• y = (y₁ + 𝜆y₂)/(1+𝜆)
• z = (z₁ + 𝜆z₂)/(1+𝜆)