Ángulo de dos rectas

 Sean dos rectas cuyas ecuaciones referidas a ejes rectangulares tengan la forma:

Recta 1:

• x = az + h
• y = bz + k

Recta 2:

• x = a'z + h'
• y = b'z + k'

Los cosenos directores de estas rectas serán:

• Cosenos directores recta 1:

1. cos 𝛼 = ± a/√(a²+b²+1)
2. cos 𝛽 = ± b/√(a²+b²+1)
3. cos 𝛾 = ± 1/√(a²+b²+1)

• Cosenos directores recta 2:

1. cos 𝛼' = ± a'/√(a'²+b'²+1)
2. cos 𝛽' = ± b'/√(a'²+b'²+1)
3. cos 𝛾' = ± 1/√(a'²+b'²+1)

Si las dos rectas forman un ángulo 𝜑, éste vendrá dado por:

cos 𝜑 = cos 𝛼 cos 𝛼' + cos 𝛽 cos 𝛽' + cos 𝛾 cos 𝛾'

sabiendo que:

• v = cos 𝛼i + cos 𝛽j + cos 𝛾k
• v' = cos 𝛼'i + cos 𝛽'j + cos 𝛾'k 
• v·v' = vv'·cos 𝜑
• v = v' = 1

Por lo que:

cos 𝜑 = vv'

Sustituyendo:

cos 𝜑 = ± (aa' + bb' + 1)/√[(a²+b²+1)(a'² + b'² + 1)]

y de aquí podemos deducir el seno y la tangente correspondiente.

El signo ± indica el ángulo agudo 𝜑 o el ángulo obtuso 𝜑' que forman las rectas.

Casos particulares

1. Si se trata de rectas paralelas, entonces  𝜑 = 0, por lo que tg 𝜑 = 0, de modo que a = a', b = b', que son las condiciones de paralelismo.
2. Si las rectas son perpendiculares, entonces 𝜑 = 𝜋/2, por lo que tg 𝜑 = ∞, y de aquí obtendremos la condición de perpendicularidad, aa' + bb' + 1 = 0.

Consecuencias geométricas

1. Por un punto sólo podemos trazar una paralela a una recta y su ecuación es: 

• x-x₁ = a(z-z₁)
• y-y₁ = b(z -z₁)

2. Por un punto podemos trazar infinitas perpendiculares a una recta dada y que forman el plano perpendicular.
3. Por un punto del espacio sólo podemos trazar una recta que corte a otra perpendicularmente.
4. Si en la condición de perpendicularidad aa' + bb' + 1 = 0, suponemos que a = a', b = b', tenemos que a² + b² + 1 = 0, y no existe ninguna recta real que verifique esta condición, a no ser rectas imaginarias llamadas isótropas. Estas rectas se ontienen eliminando a y b entre la ecuación dada en el primer punto.