Recta que pasa por uno o dos puntos

 Las ecuaciones paramétricas nos dan las rectas que pasan por un punto P(x₁, y₁, z₁), y según la ecuación normal:

• x = x₁ + 𝜆p
• y = y₁ + 𝜆q
• z = z₁ + 𝜆r

(x-x₁)/p = (y-y₁)/q = (z-z₁)/r

Expresado en función de los cosenos directores:

(x-x₁)/cos 𝛼 = (y-y₁)/cos 𝛽 = (z-z₁)/cos 𝛾

Para la forma ordinaria:

• x = az + h
• y = bz + k

Dado un punto P(x₁, y₁, z₁) de la recta:

• x₁ = az₁ + h
• y₁ = bz₁ + k

Si eliminamos h y k:

• x - x₁ = a(z - z₁)
• y - y₁ = b(z - z₁)

(x - x₁)/a = (y - y₁)/b = (z- z₁)/1 (R1)

donde a y b representan los coeficientes angulares de las proyecciones de la recta sobre los planos xz e yz.

Como a y b son parámetros variables, el sistema representará una radiación con centro en el punto P₁(x₁, y₁, z₁).

Si tenemos otro punto P₂(x₂, y₂, z₂) que también pertenece a la recta:

(x₂ - x₁)/a = (y₂ - y₁)/b = (z₂ - z₁)/1  (R2)

Si dividimos cada uno de los miembros de la ecuación R1 entre cada uno de los miembros de la ecuación R2, tenemos:

(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁) = (z - z₁)/(z₂ - z₁)

O en la forma ordinaria:

• (x - x₁) = [(x₂ - x₁)/(z₂ - z₁)](z - z₁)
• (y - y₁) = [(y₂ - y₁)/(z₂ - z₁)](z - z₁)

Podemos observar que los cosenos directores de la recta que pasa por dos puntos son proporcionales a las diferencias de las coordenadas de puntos.

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Si tenemos otro P₃(x₃, y₃, z₃), la condición para que P₁ y P₂ estén en línea recta es:

(x₃ - x₁)/(x₂ - x₁) = (y₃ - y₁)/(y₂ - y₁) = (z₃ - z₁)/(z₂ - z₁)