Ejercicios de números complejos (2)

 Ejercicio 1

Tenemos que resolver la ecuación x⁶ - 1 = 0, obteniendo las 6 raíces.

Tenemos que:

x⁶ - 1 = 0 => x⁶ = 1

Por tanto:

x = (1)^⅙

Por lo tanto, tenemos que:

1 = 1 + 0i

Ahora hallamos las seis soluciones.

Para k = 0

1_{(0 + 2·0·𝜋)/6} = 1_0º

Para k = 1

1_{(0 + 2·1·𝜋)/6} = 1_𝜋/3

Para k = 2:

1_{(0 + 2·2·𝜋)/6} = 1_2𝜋/3

Para k = 3

1_{(0 + 2·3·𝜋)/6} = 1_𝜋

Para k = 4

1_{(0 + 2·4·𝜋)/6} = 1_4𝜋/3

Para k = 5

1_{(0 + 2·5·𝜋)/6} = 1_5𝜋/3

Ejercicio 2

Hallar la transformada del complejo z definida por:

w = 4/(z + 1)², con |z| = 1

Sea z = e^i⍺

Por tanto:

w = 4/(e^i⍺ + 1)² = 4·e^-i⍺/( e^i⍺/2 +  e^-i⍺/2)² = (cos ⍺ - i·sen ⍺)/(cos² ⍺/2) = u + vi

Por tanto, u = (cos ⍺)/(cos² (⍺/2)), v = -sen ⍺/(cos² (⍺/2)).

Se verifica que:

√(u² + v²) = 1/(cos² ⍺/2), de donde se deduce:

u = (2cos² (⍺/2)  - 1)/(cos² (⍺/2)) = √(u² + v²)·(2/√(u² + v²) - 1) = 2 - √(u² + v²) 

Es decir, la transformada es u² + v² = (u - 2)².

O sea:

v² + 4u - 4 = 0, que es la ecuación de una parábola.

Ejercicio 3

Hallar la transformada de t = r·e^-iθ, definida por 

z = t + 1/t

al variar θ, siendo r constante.

Se verifica z = x + yi = t + 1/t = r·e^-iθ + (1/r)·(e^iθ) y teniendo en cuenta que e^iθ = cos θ + i·sen θ, e^-iθ = cos θ - isen θ, resulta:

x + yi = r·(cos θ - isenθ) + 1/r·(cos θ + i·sen θ)

Por lo tanto:

x = (r +1/r)·cos θ, y = (1/r - r)·sen θ

O sea:

cos² θ = x²r²/(1 + r²)², sen² θ = y²r²/(r² - 1)

Luego:

x²r²/(1 + r²)² + y²r²/(r² - 1) = 1

que es la ecuación de una elipse de semiejes:

a = (1 + r²)/r, b = (r² - 1)/r