Introducción a las transformaciones

 Las propiedades de una función real se ponen de manifiesto geométricamente por la gráfica de la función, curva o superficie según se trate de una función de una variable, y = f(x), o de dos, z = f(x, y).

Cuando se trata de la función w = f(z), siendo w y z variables complejas no se dispone de una representación gráfica tan convincente, puesto que se necesita un plano para representar cada una de las variables, estableciéndose una correspondencia entre los afijos de w y z, o lo que es lo mismo si z = x + yi, y w = u + vi, entre los puntos (x, y) y (u, v). A esta correspondencia entre puntos de los planos se llama transformación de puntos del plano Z en el plano W. Los puntos correspondientes se llaman imágenes uno de otro.

La transformación de curvas y regiones da normalmente más información de la función que la transformación entre puntos aislados.

Ejemplo

Sea la función W = |z| - iy = √(x²+y²) - iy en la que el afijo de z describe la circunferencia x² + y² = c.

Se verifica u + vi = c - yi, cumpliéndose -c≤y≤c, luego la circunferencia x² + y² = c se transforma en el segmento u = c, -c≤v≤c.

En este caso, el dominio de definición D de la función w es todo el plano z mientras que el campo R de la función es solo durante u ≥0, -u≤v≤u.

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En casos especialmente sencillos pueden superponerse los dos planos, de modo que los ejes OX y OY coincidan con OU y OV.