Fórmula módulo-argumental o trigonométrica

 Dado el complejo z = (a, b) y en forma binómica z = a + bi, este complejo en forma trigonométrica sería z = cos ɑ + isenɑ y en fórmula módulo argumental z = m𝞪, siendo m el módulo del vector, que es √(a² + b²) y 𝞪 el argumento, es decir, el ángulo que forma el módulo del vector con el eje OX, admitiendo como positivo el giro de sentido contrario a las agujas del reloj contado a partir del eje OX.

Por tanto, tg 𝛼 = b/a, y 𝛼 = arc tg(b/a)

De esta manera, podemos pasar de forma binómica a módulo argumental o trigonométrica (y viceversa)

z = a + bi

  • a = 𝜌·cos 𝛼, b = 𝜌·sen 𝛼
  • z = 𝜌(cos 𝛼 + i·sen 𝛼)

Operaciones con números complejos en forma trigonométrica

  • Suma de complejos en forma trigonométrica
Sean los complejos:
  1. z₁ = 𝜌₁(cos 𝛼 + isen 𝛼)
  2. z₂ = 𝜌₂(cos 𝛽 + isen 𝛽)
Se llama suma de estos complejos al complejo:

z = z₁ + z₂ = 𝜌₁cos 𝛼 + 𝜌₂cos 𝛽 + i(𝜌₁sen 𝛼 + 𝜌₂sen 𝛽)

Y su módulo es:

√(𝜌₁² + 𝜌₂² + 2𝜌₁𝜌₂cos(𝛼 - 𝛽)

  • Producto de complejos en forma trigonométrica
El producto de complejos es otro complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y como argumento la suma de los argumentos.

  • Cociente de complejos en forma trigonométrica
El cociente de complejos es otro complejo que tiene módulo el cociente de los módulos y como argumento la diferencia de los argumentos.

  1. z₁ = 𝜌₁(cos 𝛼 + isen 𝛼)
  2. z₂ = 𝜌₂(cos 𝛽 + isen 𝛽)
z₁/z₂ = (𝜌₁/𝜌₂)·((cos 𝛼 + isen 𝛼)/(cos 𝛽 + isen 𝛽)) = 

(𝜌₁/𝜌₂)·([(cos 𝛼 + isen 𝛼)(cos 𝛽 - isen 𝛽)]/[(cos 𝛽 + isen 𝛽)·(cos 𝛽 - isen 𝛽)]) =

 (𝜌₁/𝜌₂)·[(cos(𝛼−𝛽) + isen(𝛼−𝛽)]

  • Potencia de números complejos en forma trigonométrica
Es un complejo que tiene como módulo la potencia n-ésima del módulo  y como argumento n veces el argumento.

De aquí la fórmula de Moivre:

(cos 𝛼 + isen 𝛼)n = cos n 𝛼 + isen n 𝛼

Demostración
Para n número natural creo que es evidente.

Para n entero negativo n = -m:

(cos w + isen w)-m = 1/(cos w + isen w)m = 1/(cos m w + i sen m w)=

= (cos m w - i sen m w)/(cos² m w + sen² m w) = cos m w - isen m w = 

= cos (-nw) - isen(-nw) = cos n w + isen n w.

Vemos que la fórmula de Moivre vale para cualquier entero.

La fórmula de Moivre se obtiene desarrollando el binomio de Newton:

(cos 𝛼 + isen 𝛼)n

cosn 𝛼 + Cn,1cosn-1𝛼·isen𝛼 + Cn,2cosn-2𝛼i²·sen²𝛼 + ....+in·senn𝛼 = 

= cos n 𝛼 + i·sen n 𝛼
 


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