Raíces enésimas de la unidad
z = 1 = 1₀
Todas las raíces tendrán módulo 1 y de argumento:
0, 2𝜋/n,..., 2(n - 1)𝜋/n
𝜖₀ = 1, 𝜖₁,...,𝜖ₖ = cos(2K𝜋/n) + i·sen(2K𝜋/n),...,𝜖n-1
Los afijos en el plano de Gauss son los vértices de un polígono regular de n lados. Y los complejos 𝜖ₖ (K = 0,,,,, n-1) son las raíces enésimas de la unidad.
El conjunto de las raíces enésimas de la unidad es un grupo multiplicativo cíclico.
NOTA:
Un grupo se dice monógeno si para la ley de multiplicación se puede engendrar por las potencias de un elemento distinto del elemento neutro. Tiene a la fuerza que ser abeliano.
Un grupo monógeno finito se llama cíclico.
Se llama orden de un elemento al exponente p tal que ap de el elemento neutro.
En un grupo cíclico el orden de un elemento es un divisor del orden del grupo. Todo subgrupo de de un grupo cíclico es cíclico. En un grupo finito todo elemento engendra un grupo cíclico.
En este grupo, el elemento neutro para la ley de la multiplicación es 1 = 𝜖₀.
𝜖ₖ = cos(2K𝜋/n) + i·sen(2K𝜋/n) = (𝜖₁)k
ya que
𝜖₁ = cos(2𝜋/n) + i·sen(2𝜋/n)
𝜖₀＝𝜖₁n y siempre 𝜖₀ = (𝜖ₖ)n
Es un grupo para la ley (.), ya que es ley de composición interna.
𝜖ₖ·𝜖k' = cos(2𝜋/n)·(K + K') + i·sen(2𝜋/n)·(K + K')
que es otra K'' ya que K + K' < n y si no será K + K' - n = K''.
NOTA: Por si algunos conceptos no os quedan claros, podéis revisarlos o estudiarlos aquí.
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