Raíces de los números complejos

 Raíz cuadrada de un número complejo en forma binómica

Dado z = a + bi ∈ C, √z = u ∈ C, tal que u = x + yi, y por tanto u² = z. Entonces (x + yi)² = a + bi, por lo que:

• x² - y² = a
• 2xy = b

Para resolverlo, se puede hacer de la siguiente manera:

x² = 𝛼
-y² = 𝛽

Sustituyendo valores:

𝛼 + 𝛽 = a

-4𝛼𝛽 = b²

Por lo que:

𝛼 + 𝛽 = a

𝛼𝛽 = -b²/4

Por las fórmulas de Cardano-Viette de resolución de ecuaciones, 𝛼 y 𝛽 serán las raíces de la ecuación:

n² -an - (b²/4) = 0

De donde:

n = (a ±√(a² + b²))/2

Luego:

𝛼 = (a +√(a² + b²))/2, 𝛽 = (a -√(a² + b²))/2

Y por tanto, obtenemos 4 soluciones:

x = ±(a +√(a² + b²))/2; y = ±(a -√(a² + b²))/2

De estas 4 soluciones, solo 2 son válidas, que son las que hagan que x, y sea del mismo signo que b.

Las otras dos soluciones extrañas han sido introducidas al elevar al cuadrado.

Raíces enésimas de un complejo en forma trigonométrica

Tenemos el complejo z = r·(cos 𝛼 + i·sen 𝛼)

(z)^1/n = ⍵ = 𝜌(cos ⍵ + i·sen ⍵); ⍵n = z; 𝜌ⁿ(cos n⍵ + i·sen n⍵) = r·(cos 𝛼 + i·sen 𝛼), de donde:

𝜌ⁿ  = r

n⍵ = 𝛼 + 2K𝜋

Resolviendo:

r = 𝜌1/n

⍵ = 𝛼/n + (2K𝜋)/n, K ∈ N

Vemos que como 𝜌 > 0 y r > 0 sólo existe un r, luego todas las raíces tienen el mismo módulo. Habrá tantas raíces como argumentos se puedan hallar. En total serán n raíces, que son para los valores K = 0, 1, ...., (n - 1). Es decir, todo complejo no nulo tiene n raíces enésimas distintas.

Las raíces serán los puntos en que queda dividida la circunferencia de radio 𝜌 en n partes.

Casos particulares

• Raíces de números reales positivos

Dado un número real positivo a → z = a₀,  sus n raíces enésimas serán √a de módulo y argumentos respectivamente

0, 2𝜋/n, ...; (n - 1)(2𝜋/n)

Si n es par, n = 2n', obtendremos dos raíces reales, la de argumento 0, y la de argumento 𝜋, que es cuando K = n' →(n'2𝜋/2n').

Luego, la una es positiva y la otra negativa.

Si n es impar, solo existirá una raíz real que será positiva, la del argumento 0.

• Raíces de números reales negativos

Dado un real negativo, - a, su módulo será √a, y su argumento 𝜋/n, 𝜋/n + 2𝜋/n,...

Si n es par, como 2K + 1 siempre es impar, (2K + 1)𝜋/n no será nunca un múltiplo de 𝜋, luego no existirá ninguna raíz real.

Si n es impar, existirá un K tal que 2K + 1 = n, luego el argumento será 𝜋 y por tanto habrá una raíz real negativa.