Propiedades de las raíces enésimas de la unidad

•  Los productos, cocientes y potencia (de exponente natural) de las raíces enésimas de la unidad son también raíces de orden n.

Sean ⍺ y 𝛽 unas raíces enésimas de la unidad. 𝛼ⁿ = 1, βⁿ = 1, tenemos:

1. (𝛼·𝛽)ⁿ = 1, luego el producto es una raíz enésima.
2. (𝛼/𝛽)ⁿ = 1, luego el cociente es también raíz enésima.
3. (𝛼^p)ⁿ = (𝛼ⁿ)^p = 1, luego la potencia p-ésima también es raíz n-ésima.

• Calculada una raíz enésima de un complejo, se obtienen todas las raíces multiplicando por las n-ésimas raíces de la unidad.

z^1/n = z^1/n·1^1/n

• Si h es entero, entonces S_h = 𝟄₀^h + 𝟄₁^h + ... + 𝟄_n-1^h =  ∑𝝐ᵢ^h = n, si h es múltiplo entero de n o 0 en otro caso (sumatorio de 0 hasta n-1)

Sabemos que 𝟄₀^h = 1 y que 𝟄^k = 𝟄₁^k, por tanto 𝟄₂ = 𝟄₁², 𝟄₃＝𝟄₁³...

S_n = 1 + 𝟄₁^h + 𝟄₁^2h + ... + 𝟄₁^{(n - 1)h} 

Se trata de una progresión geométrica, por lo que su suma será igual:

(𝟄₁^nh - 1)/(𝟄₁^h - 1)

1. Si h es múltiplo entero de n, 𝟄₁^h = 1, 𝟄₁^nh  = 1, luego es indeterminación del tipo 0/0, y quitando la indeterminación, queda n, lo que se puede ver también ya que 𝟄₁^h = 1, 𝟄₁^2h  = 1..., por lo que S_n = 1 + 1 + ... + 1 = n.
2. Si h no es múltiplo entero de n, 𝟄₁^h ≠ 1, 𝟄₁^h - 1 ≠ 0, 𝟄₁^nh = 0, luego S_n = 0.

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NOTA: En cuanto a los valores negativos de h, basta tener en cuenta que 𝟄₁^-p = 𝟄₁^n-p, luego la suma tiene los mismos sumandos, pero en  distinto orden.