Propiedades de las raíces primitivas de la unidad

 Las raíces enésimas de 1 se dividen en dos clases:

1. Las que no son de orden inferior a n y se llaman primitivas de orden n. Son los elementos de orden n de grupo cíclico.
2. Las demás raíces que serán primitivas de orden inferior a n.

Propiedades

• Se obtienen todas las raíces primitivas de orden n dando a K los valores primos con n y menores que n en la fórmula:

𝟄ₖ = cos(2K𝜋/n) + i·sen(2K𝜋/n)

Si ẟ es una raíz de orden h, entonces ẟ^h = 1, luego:

ẟ^h = cos(2Kh𝜋/n) + i·sen(2Kh𝜋/n) = 1

Como Kh = n:

• Si K es primo con n eso solo se cumple cuando h = n, luego serán raíces primitivas de orden n.
• Si K no es primo con n, llamamos y llamamos K' y n' a los cocientes de K y n por su máximo común denominador, se obtiene δ = cos(2K'𝜋/n') + i·sen(2K'𝜋/n'), siendo K' primo con n' y es δ es raíz primitiva de orden n' < n.

• Toda raíz primitiva de orden n es raíz de cualquier orden n y solo de éste.

• Se obtienen todas las raíces de orden n calculando las potencias 𝟄₁, 𝟄²,𝟄³... de una raíz primitiva cualquiera de orden n

Todas son raíces de orden n porque el producto de raíces enésimas de orden n es una raíz de orden n ya que si 𝟄 es raíz de orden n:

𝟄ⁿ = 1, (𝟄²)ⁿ=(𝟄³)ⁿ = 1...

Por otra parte, son todas distintas entre sí, ya que 𝟄^a ≠ 𝟄^b, ya que si fuesen iguales 𝟄^a = 𝟄^b(𝟄^a/𝟄^b) = 1, entonces 𝟄^a-b = 1, con a-b < n, y entonces 𝟄 no será primitiva de orden n.

• Si es n = 𝝁·𝘃, siendo 𝝁 y 𝘃 primos entre sí, el producto de cualquier raíz primitiva 𝛼 de orden 𝝁 por cualquier raíz primitiva ꞵ de orden 𝘃 es una raíz primitiva de orden n.

(𝛼·β)ⁿ = (𝛼·β)^𝝁·𝘃=𝛼^𝝁·𝘃·𝛽^𝝁·𝘃 = (𝛼^𝝁·𝛽^𝝁)^v = 1

luego, (𝛼·β) es de orden n.

Para comprobar que es primitiva, tenemos que buscar el menor exponente m que cumple la condición:

(𝛼·β)^m = 1

• Se obtienen todas las raíces primitivas de orden n = 𝝁·𝘃, (siendo 𝝁 y 𝘃 primos entre sí) multiplicando cada raíz primitiva de orden 𝝁 por cada raíz primitiva de orden 𝘃.

• El número de raíces primitivas de orden n es el indicador de n, esto es 𝜑(n).