Ejercicios sobre números complejos (1)

 Ejercicio 1

Expresar en forma binómica y cartesiana y representar el producto de los complejos 6_720º y 2_180º.

6_720º·2_180º = (6·2)_900º = 12(cos 900º + sen900º·i)

Ahora tenemos que calcular el valor del seno y coseno de 900º. Como ya se ve, un ángulo de 900º implica que ha dado más de una vuelta completa a la circunferencia, esto se calcula dividiendo por 360º (1 vuelta de circunferencia).

900º:360º = 2 vueltas completas y de resto 180º.

900 = 2·360º + 180º => sen 900º = sen 180º, cos 900º = cos 180º.

Sustituimos estos valores en la expresión trigonométrica, quedando:

12_900º = 12·(cos 900º + sen 900º·i) = 12·(-1 + 0i) = -12 + 0i = (12, 0).

Por lo tanto:

• Expresión binómica: (-12 + 0i)
• Expresión cartesiana: (-12, 0)

Ejercicio 2

Encontrar el complejo resultante de dividir (2 - √3·i) entre √3·i, expresándolo en forma binómica y cartesiana.

(2 - √3·i) /√3·i

Hay que recordar que para dividir tenemos que actuar de la misma forma que cuando racionalizamos, por tanto tendremos:

[(2 - √3·i)]·(√3·i) /[(√3·i)·√3·i]

Operando y teniendo en cuenta que i²= -1 nos queda:

(2√3i - 3i²)/3i² = (2√3i + 3)/-3

Haciendo uso de las propiedades de las fracciones, tenemos:

(2√3i + 3)/-3 = 2√3i/-3 + 3/-3 = -1 - (2√3i)/3

Por lo tanto:

• Expresión binómica: -1 - (2√3i)/3
• Expresión cartesiana: (-1,  -(2√3)/3)

Ejercicio 3

Calcular las tres raíces cúbicas del complejo (-8i)

El problema nos pide resolver esta raíz:

∛(-8i)

Para encontrar la solución es necesario transformar este complejo en forma polar. Como -8i = (0 - 8i) el módulo será:

m = √(0² + (-8)²) = √64 = 8

Y el argumento (recuerda que el argumento se calcula como la arc tg (y/x)):

⍺ = 270º 

Por tanto:

-8i = 8_270º

luego sobre 8_270º se calculan las tres raíces:

∛8_270º = ∛8_{(270º + 2k𝜋)/3}

Para k = 0:

2_{(270º + 2·0·𝜋)/3} =  2_90º = 2·(cos 90º + sen 90º·i) = 2·(0 + i) = 2i

Para k = 1

2_{(270º + 2·1·𝜋)/3}=  2_210º = 2·(cos 210º + sen 210º·i) 

Ahora tendremos que calcular el valor del seno y coseno del ángulo de 210º. Como 210º = 180º + 30º, tenemos que:

• sen 210º = -sen 30º = -1/2
• cos 210º = -cos 30º = -√3/2

Sustituimos estos valores en la expresión trigonométrica:

 2·(cos 210º + sen 210º·i) = 2·(-√3/2 - i/2) = -√3 - i

Para k = 2

2_{(270º + 2·2·𝜋)/3}=  2_330º = 2·(cos 330º + sen 330º·i) 

Para calcular el valor del seno y coseno de 330º, hacemos lo mismo que en el caso anterior. 330º = 360º - 30º = 270º + 60º. Por lo tanto:

• sen 330º = - sen 30º = -1/2
• cos 330º = cos 30º = √3/2

Si sustituimos estos valores en la expresión trigonométrica, tendremos:

2(cos 330º + sen 330º·i) = 2·(√3/2 -1/2·i) = (√3 - i)

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La representación gráfica de las soluciones de la ecuación: