Módulo de los números complejos

 El módulo de un número complejo es un número real positivo que mide su tamaño.

El módulo se calcula y se representa:

z = a + bi →|z| = √(a² + b²) (la determinación positiva)

Propiedades del módulo

1. |z| ≥ 0, por la propia definición.
2. |z| = 0 si y solo si z = 0
3. |z| = |z| = |-z| ya que a² = (-a)²; b² = (-b)²
4. |z + z'| ≤ |z| + |z'|
5. |z·z'| = |z|·|z'|
6. |z/z'| = |z|/|z'|

Demostración de la cuarta propiedad

z = a + bi; z' = a' + b'i

Partimos que (ab' - ba') ≥ 0

Desarrollando el cuadrado, tenemos que a²b'² + b²a'² - 2aa'bb' ≥ 0, y por tanto, a²b'² + b²a'²  ≥ 2aa'bb'.

Sumando a los dos miembros de la desigualdad a²a'² + b²b'², tenemos:

 a²b'² + b²a'² + a²a'² + b²b'²   ≥ 2aa'bb' + a²a'² + b²b'²

Sabemos que:

(a² + b²)·(a'² + b'²) ≥ (aa' + bb')²

de donde sacando la raíz cuadrada de los miembros:

√(a² + b²)·√(a'² + b'²) ≥ aa' + bb' 

Multiplicando por 2 ambos miembros y sumando a los dos miembros a² + b² y a'² + b'² resulta:

2·√(a² + b²)·√(a'² + b'²) +  a² + b² y a'² + b'² ≥ aa' + bb' +  a² + b² y a'² + b'²

luego:

(√(a² + b²) + √(a'² + b'²))² ≥ (a + a')² + (b + b')²

Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros queda finalmente:

√(a² + b²) + √(a'² + b'²) ≥√( (a + a')² + (b + b')²)

Y por tanto:

|z + z'| ≤ |z| + |z'|

Demostración de la quinta propiedad

Elevando al cuadrado ambos miembros, |zz'|² = |z|²·|z'|²

Sabemos que:

|zz'|² = (zz')(zz') = (zz')·(z·z') = (z·z)·(z·z)

Sabiendo que z·z = |z|², tendremos que:

|z·z'|² = |z|²·|z'|²

Y extrayendo la raíz cuadrada:

|z·z'| = |z|·|z'|