Las transformaciones (2)

 Transformación W = BZ + C

Como composición de las dos anteriores, la transformación W = BZ + C representa un giro de magnitud igual al argumento de B y una homotecia de razón |B|, seguida de una traslación igual a C.

Ejemplos

  1. Sea W = iz, siendo z = x + yi y w = u + vi. La banda 0<x<1 del plano z se transforma en la banda 0<V<1 del plano w, ya que se trata sencillamente de un giro de magnitud 𝜋/2.
  2. Sea W = (1 + i)·z + 2 - i y la región del plano z limitada por los ejes coordenados y por rectas paralelas a los mismos trazadas por el punto (1, 2).
La transformación da un nuevo rectángulo obtenido:
  • Por un giro alrededor del origen de amplitud arg(1 + i) = 𝜋/4.
  • Una dilatación de magnitud |1 + i| = √2.
  • Una traslación representada por el vector de componentes (2, -1).

Función potencial

La transformación es w = zn, y como caso particular w = z².

Sea z = r·ei𝞡 y w = 𝜌·eiφ, se verifica:  𝜌·eiφ = r²·ezi𝞡, y por tanto: 𝜌 = r², 𝜑=2𝞱. En forma binómica: z = x + yi, w = u + vi, resultando:

u + vi = x² - y² + 2xyi, o sea u = x² - y² , v = 2xy

Ejemplos

  1. El primer cuadrante del plano z se transforma en el semiplano superior al eje real del plano w.
  2. La hipérbola de ecuación 2xy = c del plano z se transforma en v = c del plano w, es decir, en una recta horizontal.
En el caso general, w = zn, se opera de igual forma.

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