Forma exponencial de un número complejo

 Vamos a expresar un número complejo de forma exponencial y decimos que eyi = cosy + iseny. Esto será un automorfismo y representará al número complejo y tendrá las mismas estructuras si se cumple, teniendo en cuenta que u = cos y + i·sen y , y que v = cos y' + i·sen y':

  • u·v = cos(y + y') + i·sen(y + y') = 𝜑(eyi + ey'i)
  • ex+yi = ex·eyi = ex·(cos y + i·sen y)
  • ex'+y'i = ex'·ey'i = ex·(cos y' + i·sen y')
  • ex+yi·ex'+y'i = ex·ex'[cos(y + y') + i·sen(y + y')] = e(x + x')+(y + y')i
El producto de dos complejos es un complejo que tiene como módulo el producto de los módulos y como argumentos la suma de los argumentos, luego la representación es válida y un complejo z = r⍺ = r·(cos ⍺ + i·sen ⍺).

Por tanto, si tenemos:

ezi = cos z + i·sen z

e-zi = cos(-z) + i·sen(-z) = cos z - i·sen z 

entonces:
  • cos z = (ezi + e-zi)/2
  • sen z = (ezi - e-zi)/(2i)
  • tg z = (ezi - e-zi)/(i·(ezi + e-zi))
Por lo tanto, si tenemos:
e(zi)i = e-z = cos(zi) + i·sen(zi)
e(-zi)i = ez = cos(zi) - i·sen(zi)
entonces:
  • cos zi = (ez + e-z)/z
  • sen zi = (e-z - ez)/zi = i·(ez - e-z)/z
  • tg zi = i·[(ez - e-z)/(ez + e-z)]
Como ch z = (ez + e-z)/2 y sh = (ez - e-z)/2, tenemos que:
  • cos iz = ch z
  • sen (iz) = i·sh z
  • tg(iz) = i·th z
  • e2K𝜋i = 1

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