Las transformaciones (3)
Esta transformación es bastante común.
La función inversa
La transformación es w = 1/z o su equivalente z = 1/w.
Esta transformación permite establecer una correspondencia punto a punto
excepto para w = 0, y para z = 0.
En forma módulo argumental
si z = r·ei𝛩, y w = 𝜌·eiφ, se verifica:
𝜌·eiφ = (1/r)·e-i𝛩
transformación que puede descomponerse en dos:
z' = (1/r) ·ei𝛩 y w =
z'
Geométricamente,
la primera representa una inversión respecto a la circunferencia de
centro el origen y radio unidad. La segunda, una simetría respecto al eje
real.
Si la transformación hubiese resultado de la forma w = a/z, se obtendría el
mismo resultado, solo que una circunferencia de radio a.
Como ejemplo se tiene que la región exterior a la circunferencia de radio
unidad se transforma en el conjunto de puntos interiores a la circunferencia y
viceversa.
En forma binómica:
w = u + vi = 1/(x + yi)
por tanto:
u = x/(x² + y²), v = -y/(x² + y²)
o bien:
x = u/(u² + v²), y = -v/(u²+v²)
Ejemplo
Si z recorre la circunferencia a(x² + y²) + bx + cy + d = 0, resulta:
a·[(u² + v²)/((u² + v²)²] + b·[u/(u² + v²)] + c·[ -v/(u²+v²)] + d = 0
o sea:
d(u² + v²) + bu - cv + a = 0
es decir, que si la circunferencia no pasa por el origen (d ≠ 0), se
transforma en otra circunferencia que tampoco pasa por el origen, ya que a
ha de ser distinto de cero. Por el contrario, si la circunferencia dada pasa
por el origen se transforma en una recta y viceversa.
Las rectas que pasan por el origen bx + cy = 0 se transforman evidentemente
en rectas que también pasan por el origen.
Estos últimos conceptos pueden resultar confusos. Espero que en las siguientes entradas con ejercicios resueltos quedé más claro.
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