Operaciones con complejos en forma polar

 Producto de números complejos

El producto de dos números complejos en forma polar, es otro complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos.

Si:

c = m_𝛼 y c' = m'_𝛼'

se cumplirá:

c·c' = (m·m')(_𝛼+𝛼')

Ejemplo

Hallar el producto de los complejos √3_45º y √6_20º

• Módulo = √3·√6 = √18 = √(2·3²) = √2·√3² = 3√2
• Argumento: 45º + 20º

Por lo tanto, el producto será:

3√2_65º

Cociente de números complejos

El cociente de dos complejos en forma polar es otro complejo que en su forma polar tendrá como módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de argumentos del dividendo y divisor.

Por ejemplo, si:

c = m_𝛼 y c' = m'_𝛼'

se cumplirá:

c/c' = (m/m')_{(𝛼 - 𝛼')}

Ejemplo

Hallar el complejo cociente de 2_180º y √2_30º.

• Módulo resultante = 2/√2 = 2√2/(√2·√2) = 2√2/2 = √2
• Argumento resultante = 180º - 30º = 150º

Por lo tanto, el cociente en forma polar será:

√2_150º

Potencia de números complejos

Un número complejo elevado a una potencia, es otro complejo, que tiene como módulo, el módulo anterior elevado a la potencia y de argumento, el argumento anterior multiplicado por el exponente.

cⁿ = (m_𝛼)ⁿ = (m)ⁿ_𝛼

Ejemplo

Encontrar la sexta potencia del complejo √3120º, expresándola en forma binómica.

c =  (√3_120º)⁶

• Módulo resultante = (√3)⁶ = 3³ = 27
• Argumento resultante = 120 · 6 = 720º

El complejo resultante en forma polar:

27_720º

Y en forma trigonométrica:

27(cos 720º + i·sen 720º)

Para encontrar la forma binómica, es necesario saber el valor del seno y del coseno de 720º.

720º = 2·360º + 0º

Por tanto:

sen 720º = sen 0º = 0

cos 720º = cos 0º = 1

Sustituyendo valores en la expresión trigonométrica, tendremos:

27(1 + 0i) = 27 + 0i