Producto de homotecias (1)

 Del mismo centro

El producto de dos homotecias del mismo centro S y de razones respectivas K y K'' es otra homotecia del mismo centro y de razón KK', ya que:

  • SP'/SP = K
  • SP''/SP' = K'

Luego:

SP''/SP = K·K'

De distinto centro

Dadas las homotecias H₁ y H₂ de ecuación:

  • (1x'y') = (1xy)H₁
  • (1xy) = (1x''y'')H₂

de centros S₁(p₁, q₁), S₂(p₂, q₂), y razones K₁ y K₂ respectivamente. Siendo H₁ y H₂ iguales a:

Matrices H1 y H2

El producto de la primera por la segunda da la transformación:

(1x'y') = (1x''y'')H₃

siendo H₃ = H₁·H₂, es decir:

Matriz H3, producto de H1 y H2

Si K₂K₁≠1 ⟺ (1x'y')=(1x''y'')H₃ es otra homotecia de centro S₃ y tiene por coordenadas:

  • p₃ = [(1-K₂)p₂ + K₂(1-K₁)p₁]/(1-K₂K₁) (1)
  • q₃ = [(1-K₂)q₂ + K₂(1-K₁)q₁]/(1-K₂K₁) (2)

pues

x' = (1-K₂)p₂ + K₂(1-K₁)p₁ + K₂K₁x'' = (1-K₂K₁)p₃ + K₂K₁x''

entonces:

(1-K₂K₁)p₃ = (1-K₂)p₂ + K₂(1-K₁)p₁

y de aquí, despejando p₃, tendremos (1), como se quería demostrar. Para tener (2), hacemos algo muy parecido:

y' = (1-K₂)q₂ + K₂(1-K₁)q₁ + K₂K₁y'' = (1-K₂K₁)q₃ +  K₂K₁y''

por tanto:

(1-K₂K₁)q₃ = (1-K₂)q₂ + K₂(1-K₁)q₁

y despejando q₃ tendremos (2).

Deducimos, por tanto, que S₃ es un punto de la recta S₁S₂.

Por tanto, el producto de dos homotecias de distinto centro y cuyo producto de razones sea distinto de 1 es otra homotecia cuyo centro está alineado con los de las homotecias dadas.

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