Fórmulas de transformación por inversión

 Sean P(x, y, z) y P'(x', y', z') puntos inversos.

Ejemplo de puntos inversos en el espacio

Siendo O el centro de inversión en coordenadas esféricas con el polo en O obtendremos:

  • r·r' = R²
  • 𝝋﹦𝝋'
  • 𝜽=𝜽'

para P(r, 𝜽, 𝝋) y P'(r', 𝜽', 𝝋')

entonces:

x' = r'sen 𝝋' cos 𝜽' = R²/r sen 𝝋 cos 𝜽 = (R²/r)·(x/r) = (R²x)/r² = (R²x)/(x²+y²+z²)

y análogamente para y', z', resultando:

  • x' = (R²x)/(x²+y²+z²)
  • y' = (R²y)/(x²+y²+z²)
  • z' = (R²z)/(x²+y²+z²)

Si las coordenadas del centro son (𝛼, 𝛽, 𝛾)

  • x' = 𝛼 + [R²(x-𝛼)]/[(x-𝛼)²+(y-𝛽)²+(z-𝛾)²]
  • y' = 𝛽 + [R²(x-𝛽)]/[(x-𝛼)²+(y-𝛽)²+(z-𝛾)²]
  • z' = 𝛾 + [R²(x-𝛾)]/[(x-𝛼)²+(y-𝛽)²+(z-𝛾)²]


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