Producto de homotecias en el espacio

 Del mismo centro

El producto de dos homotecias del mismo centro y razones K₁, K₂ es otra homotecia de razón K₁K₂.

Como la identidad es una homotecia de razón K = 1, resulta que todas las homotecias con un mismo centro forman un grupo.

De distinto centro

Demostraremos además por un procedimiento distinto empleado en el plano.

El producto de dos homotecias de centros distintos O₁O₂ y de razones no recíprocas K₁ y K₂ es una homotecia de razón K₁K₂ cuyo centro O está alineado con O₁ y O₂.

En efecto, sea ABC un triángulo, un triángulo A'B'C' su homólogo, es la homotecia O₁K₁O₂K₂·ABC , y A''B''C'' y A''B''C'' el homólogo de éste en la homotecia, tienen sus lados homólogos paralelos entre sí por serlo a los del triángulo A'B'C', luego son homotéticos. Sea O₃ el centro de homotecia.

Lo mismo podemos repetir para otro triángulo ABC determinado por AB y otros cualesquiera D de la primera figura y sus homólogos sucesivos D' y D''. Resultarán ABD y A''B''D'' triángulos homotéticos con centro en el punto de intersección D' y D''. Resultarán ABD y A''B''D'', triángulos homotéticos con centro en el punto de intersección de AA'' y BB'', es decir, en el mismo punto O₃ y razón:

K₃ = O₃D''/O₃D = A''B''/AB = A''B''/A'B' = A'B'/AB

Por tanto, todos los pares de puntos homólogos D y D'' en el producto están alineados con O₃ y su razón de distancias a O₃ es constante.

Si K₁K₂ = 1, las figuras resultantes serán congruentes y sus rectas homólogas paralelas, es decir, estarán ligadas por una traslación.

Algunas cosas a tener en cuenta:

1. La homotecia conserva la alienación, el orden de los puntos homólogos y el sentido del plano.
2. El centro es el único punto doble.
3. Las rectas que pasan por el centro son las únicas rectas dobles.
4. Las rectas homólogas que no pasan por el centro son paralelas.
5. Los segmentos homólogos son proporcionales.
6. La razón de distancias de un punto a otros dos de una figura es igual a la razón de distancias entre los puntos homólogos.
7. Los ángulos homólogos son iguales.
8. La homotecia se convierte en una identidad cuando K = 1, y en simetría central cuando K = -1.