Semejanzas

 Se llama semejanza a toda correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano, de modo que si P y Q son dos puntos cualesquiera y P' y Q' sus transformados mediante la semejanza:

P'Q' + PQ = K

Siendo K la razón de semejanza.

Mediante la semejanzas se transforman puntos alineados en alineados y no alineados en no alineados.

Si los puntos P, Q, R no están alineados y los transformados P', Q', R' si lo estuvieran, uno de ellos estaría comprendido entre los dos, y por estar alineados, y como:

  • P'R' = KPR
  • P'Q' = KPQ
  • Q'R' = KQR

luego 

Q'R' = KQR

y esto contradice la relación PR < PQ + QR, que es la que es característica para los lados de un triángulo.

Análogamente, podemos probar que si P, Q y R son colineales, P', Q' y R' lo son también.

En consecuencia:

  • Si Q pertenece al segmento comprendido entre P y R, Q' pertenecerá al segmento P'R'.
  • Las semejanzas transforman triángulos en otros semejantes, si A es un punto cualquiera del plano, dado un triángulo PQR, al menos una de las rectas AP, AQ, AR, corta a la recta que contiene el lado opuesto al vértice que en ella figura. Sea AQ que corta a PR en C.

En la recta que pasa por P' y R', existe un punto C' tal que:

P'C'/P'R' = PC/PR (1)

obtenemos el punto C' que es homólogo de C en la transformación de semejanza:

C' = S(C)

Para demostrar que S es una semejanza, observamos que en la figura que si A≠B⟺ A'≠B', por lo tanto, S es biunívoca.

En la recta Q'C' existe un punto A' tal que:

Q'A'/Q'C' = QA/QC (2)

por lo que A' es el homólogo de A en la transformación de semejanza:

A' = S(A)

Si tomamos otro punto arbitrario B y D como el punto de corte de QB y PR se verificará:

  • P'D'/P'R' = PD/PR (3)
  • Q'B'/Q'O' = QB/QO (4)

De (1) y de la semejanza PQR deduciremos la semejanza de los triángulos PCQ y P'C'Q'.

Si hacemos lo mismo para (1) tenemos que PDQ y P'D'Q' son semejantes. Entonces:

QD/Q'D' = QC/Q'C' = PQ/P'Q'

de (1) y (3):

(PC - PD)/(P'C'-P'D') = PR/P'R'

Por lo tanto, los ángulos QDC = Q'D'C' y podemos deducir que:

A'B'/AB = Q'B'/QB = Q'C'/QC = P'Q'/PQ ⇒ razón de semejanza.

Ejemplo de semejanza

Algunos aspectos importantes:

  1. Toda semejanza es producto de un movimiento por una homotecia.
  2. El producto de dos semejanzas es otra semejanza.
  3. El conjunto de todas las semejanzas es un grupo que llamamos grupo de las semejanzas.
  4. El grupo de los movimientos es subgrupo de las semejanzas.



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