Semejanza en el espacio

 Dos figuras del espacio entre cuyos puntos se pueda establecer una correspondencia biunívoca que cumpla las condiciones que se indican a continuación se llamarán semejantes y la transformación que las une, semejanza. Se llama directa si se conserva el sentido del espacio o inversa en caso contrario.

El producto de una homotecia por un movimiento o pseudo-movimiento será una transformación que tendrá las propiedades resultantes de una y otra, o sea:

1. A puntos alineados, corresponden puntos alineados en igual orden.
2. A puntos coplanarios, corresponden puntos coplanarios.
3. Los segmentos homólogos son proporcionales. La razón de proporcionalidad se llama razón de semejanza.
4. Los ángulos homólogos son iguales.
5. Los diedros homólogos son iguales.

En cuanto al sentido del espacio, se conserva si los conservan o los invierten los dos factores, (es decir, si se multiplica una homotecia de razón positiva por un movimiento, o una homotecia de razón negativa por pseudo-movimiento) y se invierte en los otros casos, por conservarlo en un solo factor.

Incluyendo la congruencia y la pseudo-congruencia entre la semejanzas resulta: el producto de dos semejanzas es otra semejanza. Las semejanzas forman grupo. Las semejanzas directas forman subgrupo, las inversas no, por ser el producto de dos de ellas una semejanza directa.