Producto de homotecias (2)

 Esta entrada es continuación de la anterior.

Si tenemos K₁K₂ = 1, el centro de la homotecia es impropio y las ecuaciones de transformación serán:

  • x' = (1-K₂)p₂ + K₂(1-1/K₂)p₁ + x'' = (1-K₂)(p₂-p₁)+x''
  • y' = (1-K₂)q₂ + K₂(1-1/K₂)q₁ + y'' = (1-K₂)(q₂-q₁)+y''

que es una traslación del vector AA'' paralelo  a la recta que une los centros de las dos homotecias:

a = AA'' = [(1-K₂)(p₂-p₁), (1-K₂)(q₂-q₁)]

Ejemplo

Dada la homotecia de razón K = -2, pasamos del punto p(8, 3) al P'(-7, 0). Tenemos que calcular las ecuaciones y el punto homólogo de Q(3, -5).

Solución

Sabemos que siendo K = -2:

  • x'-p = -2(x-p)
  • y'-q = -2(y-q)

como P'(-7, 0) es homólogo de P(8, 3):

  • -7-p = -2(8-p)
  • 0-q = -2(3-q)

resolviendo el sistema, tenemos:

p =3, q = 2

las ecuaciones quedarán:

  • x' = 3-2(x-3) => x' = 9-2x
  • y' = 2-2(y-2)=> y' = 6-2y

para el punto Q(3, -5):

  • x' = 9-2·3 = 3
  • y' = 6-2(-5) = 16

Por lo que Q'=(3, 16)

Recuerda que todas las homotecias del plano forman grupo.

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