Ejercicios de movimientos en el plano y espacio (1)

 Algunos ejercicios, para comprender mejor lo explicado en este largo tema. Sé que es complicado, y bastante abstracto, así que espero que estos ejercicios os ayuden mejor a comprender el tema.

Ejercicio 1

Hallar las ecuaciones de la simetría de eje de 2x + y + 3 = 0

Solución

Consideremos un punto (x', y'), homólogo de (x, y) y tenemos:

1. 2(x + x')/2 + (y+y')/2 + 3 = 0
2. (x'-x)/2 = (y'-y)/1

Por lo tanto:

1. 2(x+x') + (y+y') + 6 = 0
2. (x'-x)-2(y'-y) = 0

de donde despejamos x' e y':

1. x' = -(6-y-y'-2x)/2 = 2(y'-y) + x
2. y' = -6-y-2x'-2x = (x-x')/2 + y

Así que:

1. y' = (3/5)y - (4/5)x -6/5
2. x' = -(5/3)x - y -4

que son las ecuaciones de simetría.

Ejercicio 2

Hallar el centro y ecuaciones de la homotecia de razón -3 que transforma P(-1, 2, 0) en P'(2, -4, 6).

Solución

Conocidas las ecuaciones generales de una homotecia:

1. x'-a = r(x-a)
2. y'-b = r(y-b)
3. z'-c = r(z-c)

siendo r la razón y (a, b, c) las coordenadas del centro. Sustituyendo:

1. 2-a = -3(-1-a)
2. -4-b = -3(2-b)
3. 6-c = -3(0-c)

podemos calcular las coordenadas del centro, que en este caso son:

a = -1/4, b = 1/2, c = 3/2, es decir, (-1/4, 1/2, 3/2).

Sustituyendo a y r en las ecuaciones generales de una homotecia, tendremos las ecuaciones de la homotecia:

1. x'+1/4 = -3(x + 1/4)
2. y'-1/2 = -3(y -1/2)
3. z' - 3/2 = -3(z - 3/2)