Homotecia en el espacio

 Dado un punto fijo S y un número real K≠ 0 positivo o negativo, hagamos corresponder a todo punto A, distinto de S, otro A' alineado con S tal que SA'/SA = K. Este punto está en la semirrecta SA si K>0 y en la opuesta si K<0 y la correspondencia así definida se llama homotecia de centro O y razón K. 

Si K = 1, la homotecia se reduce a identidad.

Propiedades

De esta definición se desprende (suponiendo K ≠ 1).

• El centro S es el único punto doble (homólogo de sí mismo).
• Las rectas que pasan por el centro son dobles.
• Los planos que pasan por el centro son dobles y los puntos homólogos de estos planos lo son en una homotecia de dicho plano de centro S y razón K de donde:

1. A los puntos de una recta que no pasa por el centro corresponden los de otra paralela. Luego las rectas que pasan por el centro son las únicas del doble. La homotecia conserva la ordenación de los puntos de una recta. Las siguientes rectas homólogas son paralelas y del mismo sentido si K>0 y de sentido opuesto si K<0.
2. La razón entre dos segmentos homólogos es constante e igual a la razón K de homotecia.

De aquí resulta:

• A todo ángulo plano corresponde otro igual. Por ser sus lados paralelos dirigidos en igual (u opuesto) sentido.
• Los ángulos diedros formados por semiplanos homólogos son iguales, puesto que las secciones rectas de estos diedros trazadas por puntos homólogos serán homólogas. (formadas por semirrectas homólogas) y por tanto iguales.

De todo ello se desprende finalmente:

Los triedros homólogos son iguales, pero sólo son de igual sentido (congruentes) si K>0, pues la homotecia de razón negativa invierte el sentido del espacio.