Construcción de puntos homólogos

•  Si el punto P' es interior al círculo fundamental, se traza la perpendicular P'R a OP' hasta cortar a la circunferencia en R y la perpendicular a OR en R, o sea, PR cortará a OP' en P ≡ Inv(P').
• Para P exterior al círculo fundamental trazaremos la circunferencia de diámetro OP y si R es uno de los puntos de corte con la fundamental, P' será su proyección ortogonal de R sobre OP:

P' = Inv (P)

Propiedades

1. Dos puntos inversos son conjugados armónicos respecto a los extremos del diámetro que contiene a P. Dos puntos inversos son conjugados respecto al círculo fundamental.
2. Si tenemos dos puntos P y P' ≡ Inv(P) cualquier circunferencia que pase por ellos se cortará en una semirrecta secante y con origen en O, en los puntos Q y Q', de modo que OP·OP' = OQ·OQ' = r², y por tanto Q y Q' se corresponden en la inversión y la circunferencia que pasa por P y P' corta ortogonalmente a la fundamental.
3. Los puntos pertenecientes a la circunferencia como PQ tienen por homólogos puntos de la misma, y así los del arco APB se corresponden con los de AP'B, se trata entonces de una circunferencia analagmática.
4. Las circunferencias analagmáticas que cortan ortogonalmente a la circunferencia fundamental tienen por centro radical el centro de ésta, de modo que una transformación que hace corresponder consigo mismas a las circunferencias de una red será una inversión con centro y potencia en los correspondientes a la red.
5. Dos circunferencias se tendrán por inversas a sí mismas respecto del mismo centro, si tomamos como polo un punto del eje radical y como potencia la potencia común a ambas.
6. Podemos deducir que la inversión de centro O es una transformación biunívoca tal que los pares de puntos homólogos (P, P', Q, Q') son puntos de la semirrecta de origen en O y las rectas que unen PQ y P'Q' son antiparalelas respecto al ángulo QOP.