Inversión en el plano

 Sea el plano 𝜋 y una circunferencia de centro O y radio r que se encuentra en el plano. Llamamos inversión positiva de centro O, o inversión circular respecto de O, la correspondencia que hace pasar a todo punto P de 𝜋 pertenecientes a la semirrecta OP, de modo que:

OP· OP' = r²

el centro O es el centro o polo.

El radio r es el radio del círculo o circunferencia fundamental, el radio al cuadrado es la potencia de la inversión circular.

Los puntos P y P' se llaman inversos y homólogos y los que pertenecen a la circunferencia fundamental son invariantes. Por ello, la circunferencia fundamental también recibe el nombre de circunferencia de autoinversión.

Cada punto del plano 𝜋 sólo admite un homólogo para r²≠0 y siendo el punto distinto del centro. Al centro le corresponderían todos los puntos del infinito de 𝜋 y ello contradice la biunicividad. Para subsanarlo, se le asigna un solo punto impropio homólogo O'.

En la inversión circular se verifica que:

P' ≡ Inv(P) → P ≡ Inv(P')

por lo que se trata de una transformación recíproca.

La inversión circular es una transformación puntual biunívoca. Las figuras que obtenemos a través de la inversión se denominan inversas y cuando son inversas de sí mismas o invariantes se denominan analagmática; por ejemplo, la circunferencia fundamental de autoinversión es analagmática.

Producto de dos inversiones del mismo centro

Sean

  • P₁≡Inv₁(P)
  • P₂≡Inv₂(P₁)

respecto del punto O como centro y de la circunferencias C₁ y C₂ de radios r₁ y r₂.

Según la definición:

  • OP·OP₁ = r₁²
  • OP₁·OP₂ = r₂²

luego:

OP₂ = OP(r₂/r₁)²

y siendo O, P y P₂ colineales, entonces P₂ es homólogo de P en la homotecia:

[O, (r₂/r₁)²]

es decir,

P₂ ≡ H(P)

  1. Por lo tanto, el producto de dos inversiones circulares del mismo centro O, es una homotecia directa de centro O.
  2. El producto de una inversión con centro O y de potencia r² por una homotecia con el mismo centro y razón k>0 es una inversión de centro O y potencia k·r².
  3. Las inversiones circulares del mismo centro no forman grupo.


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