Semejanza de tetraedros y poliedros

 Dos poliedros semejantes tendrán sus caras homólogas semejantes, sus aristas homólogas semejantes, sus ángulos y diedros homólogos iguales.

Para reconocer la semejanza de los poliedros no es preciso comprobar tantas condiciones; basta que se cumplan algunas de ellas para que se cumplan las demás. Vamos a estudiar condiciones suficientes de semejanza en los poliedros más sencillos: los tetraedros.

Procederemos como en el plano para la semejanza de triángulos. Sean ABCD y A'B'C'D' los tetraedros dados, llevemos sobre la arista AB (suponemos que es mayor a A'B') el segmento AB'' = A'B' y tracemos por B'' el plano B''C''D'' paralelo a la cara BCD.

El tetraedro AB''C''D'' es homotético y, por tanto, semejante del ABCD. Todo criterio que permita afirmar la igualdad (congruencia o pseudo-congruencia) de los tetraedros AB''C''D'' y A'B'C'D' nos dará un criterio de semejanza entre los tetraedros dados. Así resulta:

Criterios de semejanza

  1. Dos tetraedros que tengan respectivamente semejantes dos caras ABC ̴A'B'C', ABD ̴ A'B'D', e igual el diedro que forman, son semejantes.
  2. Dos tetraedros con una cara del uno semejante a la homóloga en el otro e iguales los diedros contiguos son semejantes.
  3. Dos tetraedros con caras respectivamente semejantes son semejantes.

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