Los giros en el plano

 Se define giro o rotación de centro O y amplitud 𝛼 (𝛼 es un ángulo orientado) como la transformación que hace corresponder a cada punto P del plano el P', de modo que OP = OP', POP' = 𝛼.

Si consideramos un punto O, un punto determinado A y un punto arbitrario B, el punto O es invariante en el giro, y A', B' son las transformadas de A y B respectivamente:

• A' = G(A)
• B' = G(B)

entonces AOA' = BOB' ⟹AOB = A'OB'

Los triángulos AOB y A'OB' son iguales. Todo giro es una congruencia y recíprocamente, toda congruencia plana en la que un punto coincide con su transformado es un giro con centro en dicho punto.

Propiedades

• La transformada de una recta es una recta.
• La transformada de una semirrecta es una semirrecta del mismo sentido.
• La transformada de una circunferencia es una circunferencia de igual radio, cuyo centro es el transformado del centro de la primera.

Como ya vimos en simetrías, todo giro podemos descomponerlo en el producto de dos simetrías, cuyos ejes se cortan en el centro de giro y de los que podemos fijar uno arbitrariamente siempre que se corte en el centro de giro con el otro.

Dado el centro G(𝛼) de centro O y amplitud 𝛼, y el eje ℓ₁ es una recta arbitraria que pasa por O podemos tener otra recta ℓ₂ incidente en O tal que:

ℓ₁ℓ₂ = 𝛼/2

Es decir S_ℓ₁·S_ℓ₂  = G_𝛼.

Grupo de los giros concéntricos

Es evidente que a todo giro corresponde su recíproco y que el producto de dos giros concéntricos es un giro con el mismo centro de los componentes. Por consiguiente:

• Los giros con un mismo centro forman un grupo.
• Este grupo es abeliano. De otro modo, si se altera el orden en el que se realizan los giros consecutivos, rr', r'r'' el resultado será el mismo giro rr''.
• El conjunto de todos los giros del plano no forman un grupo.